Номер 3, страница 146 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 4. Законы сохранения. Параграф 33. Закон сохранения механической энергии. Задачи - номер 3, страница 146.

Условие.

3. Найдите скорость входа прыгуна в воду с пятиметрового трамплина, если начальная горизонтальная скорость спортсмена $v_0 = 5$ м/с.

Решение.

Дано:

Высота трамплина: $h = 5$ м

Начальная горизонтальная скорость: $v_0 = 5$ м/с

Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ м/с² (стандартное допущение в школьных задачах)

Найти:

Скорость входа в воду: $v$

Решение:

Движение спортсмена после прыжка является движением тела, брошенного горизонтально. Его можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного прямолинейного движения по горизонтали и равноускоренного движения (свободного падения) по вертикали. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Скорость $v$ в момент входа в воду является векторной величиной и складывается из горизонтальной ($v_x$) и вертикальной ($v_y$) составляющих. Модуль этой скорости можно найти по теореме Пифагора:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

Найдем каждую из составляющих скорости в момент касания воды.

1. Горизонтальная составляющая скорости $v_x$.

Поскольку по горизонтали на тело не действуют силы (сопротивление воздуха не учитываем), его скорость в этом направлении не изменяется и равна начальной скорости:

$v_x = v_0 = 5$ м/с

2. Вертикальная составляющая скорости $v_y$.

По вертикали тело движется с ускорением свободного падения $g$. Начальная вертикальная скорость $v_{0y}$ равна нулю, так как прыжок был совершен строго горизонтально.

Для нахождения конечной вертикальной скорости $v_y$ после падения с высоты $h$ можно использовать формулу, не содержащую время:

$h = \frac{v_y^2 - v_{0y}^2}{2g}$

Подставляя $v_{0y} = 0$, получаем:

$h = \frac{v_y^2}{2g}$

Отсюда выражаем $v_y$:

$v_y = \sqrt{2gh}$

Подставим числовые значения:

$v_y = \sqrt{2 \cdot 10 \, \text{м/с}^2 \cdot 5 \, \text{м}} = \sqrt{100 \, \text{м}^2/\text{с}^2} = 10$ м/с

3. Полная скорость $v$.

Теперь, зная обе составляющие, можем найти модуль полной скорости:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(5 \, \text{м/с})^2 + (10 \, \text{м/с})^2} = \sqrt{25 \, \text{м}^2/\text{с}^2 + 100 \, \text{м}^2/\text{с}^2} = \sqrt{125 \, \text{м}^2/\text{с}^2}$

$v = \sqrt{25 \cdot 5}$ м/с = $5\sqrt{5}$ м/с

Для практического представления вычислим приближенное значение:

$v \approx 5 \cdot 2.236 \approx 11.18$ м/с. Округляя, получаем $11.2$ м/с.

Альтернативное решение (через закон сохранения энергии):

В начальный момент времени (на трамплине, $h=5$ м) полная механическая энергия спортсмена $E_1$ складывается из потенциальной ($E_p = mgh$) и кинетической ($E_k = \frac{1}{2}mv_0^2$) энергий.

$E_1 = mgh + \frac{1}{2}mv_0^2$

В конечный момент времени (перед входом в воду, $h=0$) полная механическая энергия $E_2$ состоит только из кинетической энергии, так как потенциальная энергия равна нулю.

$E_2 = \frac{1}{2}mv^2$

По закону сохранения механической энергии $E_1 = E_2$:

$mgh + \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2$

Массу $m$ можно сократить:

$gh + \frac{1}{2}v_0^2 = \frac{1}{2}v^2$

Выразим $v^2$:

$v^2 = 2gh + v_0^2$

$v = \sqrt{2gh + v_0^2}$

Подставим значения:

$v = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 5 + 5^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ м/с $\approx 11.2$ м/с.

Ответ: скорость входа прыгуна в воду равна $5\sqrt{5}$ м/с, что приблизительно составляет $11.2$ м/с.