Номер 4, страница 146 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 4. Законы сохранения. Параграф 33. Закон сохранения механической энергии. Задачи - номер 4, страница 146.

Условие.

4. Авиалайнер летит на высоте $9,2 \text{ км}$ со скоростью $1080 \text{ км/ч}$. Принимая, что нуль отсчёта потенциальной энергии находится на поверхности Земли, найдите, какую часть от полной механической энергии составляют соответственно кинетическая и потенциальная энергии.

Решение.

Дано:

Высота полета авиалайнера $h = 9,2$ км

Скорость полета авиалайнера $v = 1080$ км/ч

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с²

Переведем данные в систему СИ:
$h = 9,2 \text{ км} = 9,2 \times 1000 \text{ м} = 9200 \text{ м}$
$v = 1080 \text{ км/ч} = 1080 \times \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 300 \text{ м/с}$

Найти:

Какую часть от полной механической энергии составляют соответственно кинетическая энергия ($\frac{E_k}{E}$) и потенциальная энергия ($\frac{E_p}{E}$).

Решение:

Полная механическая энергия авиалайнера $E$ является суммой его кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$. По условию, нулевой уровень потенциальной энергии находится на поверхности Земли.

$E = E_k + E_p$

Кинетическая энергия тела массой $m$, движущегося со скоростью $v$, определяется по формуле:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

Потенциальная энергия тела массой $m$, поднятого на высоту $h$ над нулевым уровнем, определяется по формуле:

$E_p = mgh$

Следовательно, полная механическая энергия равна:

$E = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Найдем долю кинетической энергии в полной механической энергии. Для этого разделим кинетическую энергию на полную:

$\frac{E_k}{E} = \frac{\frac{mv^2}{2}}{\frac{mv^2}{2} + mgh} = \frac{\frac{v^2}{2}}{\frac{v^2}{2} + gh}$

Аналогично найдем долю потенциальной энергии:

$\frac{E_p}{E} = \frac{mgh}{\frac{mv^2}{2} + mgh} = \frac{gh}{\frac{v^2}{2} + gh}$

Как видно из полученных формул, искомые доли не зависят от массы $m$ авиалайнера. Подставим числовые значения в единицах СИ:

Удельная кинетическая энергия (на единицу массы):

$\frac{E_k}{m} = \frac{v^2}{2} = \frac{(300 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{90000}{2} \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2} = 45000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Удельная потенциальная энергия (на единицу массы):

$\frac{E_p}{m} = gh = 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \times 9200 \text{ м} = 90160 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2} = 90160 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Теперь рассчитаем искомые доли:

Доля кинетической энергии:

$\frac{E_k}{E} = \frac{45000}{45000 + 90160} = \frac{45000}{135160} \approx 0,333$

Доля потенциальной энергии:

$\frac{E_p}{E} = \frac{90160}{45000 + 90160} = \frac{90160}{135160} \approx 0,667$

Для проверки можно сложить полученные доли: $0,333 + 0,667 = 1,000$.

Ответ: кинетическая энергия составляет примерно 0,333 (или 33,3%) от полной механической энергии, а потенциальная энергия – примерно 0,667 (или 66,7%) от полной механической энергии.