Номер 5, страница 146 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Вопросы. Параграф 33. Закон сохранения механической энергии. 4. Законы сохранения. Механика - номер 5, страница 146.

Условие.

5. Почему снаряды, выпущенные из одного орудия под разными углами к горизонту, имеют одинаковую скорость на одной и той же высоте?

Решение.

5. Решение

Это явление объясняется законом сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия тела представляет собой сумму его кинетической ($E_k$) и потенциальной ($E_p$) энергий. В идеальном случае, когда можно пренебречь сопротивлением воздуха, единственной силой, действующей на снаряд в полете, является сила тяжести. Сила тяжести является консервативной, а это значит, что полная механическая энергия системы (в данном случае, снаряда) сохраняется, то есть остается постоянной на всей траектории полета.

Условие, что снаряды выпущены "из одного орудия", означает, что их начальная скорость $v_0$ одинакова по модулю. Пусть выстрел производится с начальной высоты $h_0 = 0$ (уровень земли).

Начальная полная механическая энергия снаряда $E_0$ в момент выстрела равна его начальной кинетической энергии, так как потенциальная энергия на нулевой высоте равна нулю:

$E_0 = E_{k0} + E_{p0} = \frac{1}{2}mv_0^2 + mg \cdot 0 = \frac{1}{2}mv_0^2$

Теперь рассмотрим снаряд в произвольной точке траектории на высоте $h$, где его скорость равна $v$. В этой точке его полная механическая энергия $E$ будет складываться из кинетической и потенциальной энергий:

$E = E_k + E_p = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$

По закону сохранения механической энергии, полная энергия в начале полета равна полной энергии в любой другой его точке:

$E_0 = E$

$\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$

Мы можем выразить из этого уравнения скорость $v$ на высоте $h$. Для этого сократим массу $m$ (так как она присутствует в каждом члене уравнения):

$\frac{1}{2}v_0^2 = \frac{1}{2}v^2 + gh$

Умножим обе части на 2:

$v_0^2 = v^2 + 2gh$

Отсюда выражаем $v^2$:

$v^2 = v_0^2 - 2gh$

И, наконец, находим модуль скорости $v$:

$v = \sqrt{v_0^2 - 2gh}$

Как видно из полученной формулы, модуль скорости снаряда $v$ на высоте $h$ зависит только от модуля его начальной скорости $v_0$ и высоты $h$. Угол, под которым был выпущен снаряд, в эту формулу не входит.

Поскольку по условию задачи все снаряды выпускаются из одного орудия (значит, $v_0$ у всех одинакова) и мы рассматриваем их на одной и той же высоте $h$, то и их скорость $v$ по модулю будет одинаковой.

Ответ: В соответствии с законом сохранения механической энергии (при пренебрежении сопротивлением воздуха), скорость снаряда на любой высоте зависит только от его начальной скорости и этой высоты, но не зависит от угла выстрела. Так как снаряды, выпущенные из одного орудия, имеют одинаковую начальную скорость, то и на одной и той же высоте их скорости будут одинаковы.