Номер 5, страница 146 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 4. Законы сохранения. Параграф 33. Закон сохранения механической энергии. Задачи - номер 5, страница 146.

Условие.

5. Ядро массой $m = 5 \text{ кг}$ свободно падает на Землю с высоты $H = 10 \text{ м}$. Определите изменения потенциальной и кинетической энергии ядра в точке падения. Найдите скорость ядра на высоте $h = 5 \text{ м}$ и при ударе о Землю, пренебрегая сопротивлением воздуха.

Решение.

Дано:

Масса ядра, $m = 5$ кг
Начальная высота, $H = 10$ м
Промежуточная высота, $h = 5$ м
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²
Начальная скорость, $v_0 = 0$ м/с (свободное падение)

Найти:

1. Изменения потенциальной ($\Delta E_п$) и кинетической ($\Delta E_к$) энергий в точке падения.
2. Скорость ядра на высоте $h$ ($v_h$) и при ударе о Землю ($v_f$).

Решение:

За нулевой уровень отсчета потенциальной энергии примем поверхность Земли. Поскольку сопротивлением воздуха пренебрегаем, для ядра выполняется закон сохранения полной механической энергии: сумма кинетической и потенциальной энергий остается постоянной в любой точке траектории.

Определите изменения потенциальной и кинетической энергий ядра в точке падения

Начальная потенциальная энергия ядра на высоте $H$ определяется формулой:
$E_{п1} = m \cdot g \cdot H$
В точке падения (на поверхности Земли, высота равна 0) потенциальная энергия равна нулю:
$E_{п2} = 0$
Изменение потенциальной энергии $\Delta E_п$ — это разность между конечной и начальной энергией:
$\Delta E_п = E_{п2} - E_{п1} = 0 - m \cdot g \cdot H = -m \cdot g \cdot H$
Подставим значения:
$\Delta E_п = -5 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 10 \text{ м} = -490 \text{ Дж}$

Так как ядро начинает падение из состояния покоя ($v_0 = 0$), его начальная кинетическая энергия $E_{к1} = 0$.
Согласно закону сохранения энергии, изменение полной механической энергии равно нулю: $\Delta E_к + \Delta E_п = 0$. Отсюда следует, что изменение кинетической энергии равно по модулю и противоположно по знаку изменению потенциальной энергии:
$\Delta E_к = - \Delta E_п$
$\Delta E_к = -(-490 \text{ Дж}) = 490 \text{ Дж}$

Ответ: Изменение потенциальной энергии составляет $-490$ Дж, изменение кинетической энергии составляет $490$ Дж.

Найдите скорость ядра на высоте h = 5 м и при ударе о Землю

Скорость на высоте $h = 5$ м.
Применим закон сохранения энергии для начального положения (высота $H$) и положения на высоте $h$:
$E_{к1} + E_{п1} = E_{кh} + E_{пh}$
$0 + m \cdot g \cdot H = \frac{m \cdot v_h^2}{2} + m \cdot g \cdot h$
Сократим массу $m$:
$g \cdot H = \frac{v_h^2}{2} + g \cdot h$
Выразим и найдем скорость $v_h$:
$v_h = \sqrt{2 \cdot g \cdot (H - h)} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (10 \text{ м} - 5 \text{ м})} = \sqrt{98} \approx 9.9 \text{ м/с}$

Скорость при ударе о Землю.
Применим закон сохранения энергии для начального положения (высота $H$) и конечного (поверхность Земли):
$E_{к1} + E_{п1} = E_{к2} + E_{п2}$
$0 + m \cdot g \cdot H = \frac{m \cdot v_f^2}{2} + 0$
Выразим и найдем скорость $v_f$:
$v_f = \sqrt{2 \cdot g \cdot H} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 10 \text{ м}} = \sqrt{196} = 14 \text{ м/с}$

Ответ: Скорость ядра на высоте 5 м составляет примерно $9.9$ м/с, а скорость при ударе о Землю — $14$ м/с.