Номер 2, страница 151 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 4. Законы сохранения. Параграф 34. Абсолютно неупругое и абсолютно упругое столкновения. Задачи - номер 2, страница 151.

Условие.

2. Во сколько раз скорость, приобретаемая при ударе двух одинаковых шаров неподвижным шаром, больше при упругом ударе, чем при неупругом?

Решение.

Дано:

$m_1$, $m_2$ — массы первого и второго шара

$m_1 = m_2 = m$

$v_1$ — начальная скорость первого шара

$v_2 = 0$ — начальная скорость второго шара (покоится)

$v'_{2,упр}$ — скорость второго шара после упругого удара

$v'_{2,неупр}$ — скорость второго шара после неупругого удара

Найти:

$\frac{v'_{2,упр}}{v'_{2,неупр}}$

Решение:

Для решения задачи рассмотрим два типа столкновений: абсолютно упругий и абсолютно неупругий удар.

1. Абсолютно упругий удар

При абсолютно упругом ударе выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Закон сохранения импульса в векторной форме: $m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} = m_1 \vec{v'_1} + m_2 \vec{v'_2}$.

В проекции на ось, совпадающую с направлением начальной скорости первого шара, и с учётом $m_1 = m_2 = m$ и $v_2 = 0$:

$m v_1 = m v'_1 + m v'_{2,упр}$

$v_1 = v'_1 + v'_{2,упр}$ (1)

Закон сохранения кинетической энергии:

$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 (v'_1)^2}{2} + \frac{m_2 (v'_{2,упр})^2}{2}$

С учётом условий задачи:

$\frac{m v_1^2}{2} = \frac{m (v'_1)^2}{2} + \frac{m (v'_{2,упр})^2}{2}$

$v_1^2 = (v'_1)^2 + (v'_{2,упр})^2$ (2)

Решим систему уравнений (1) и (2). Из уравнения (1) выразим $v'_1 = v_1 - v'_{2,упр}$ и подставим в уравнение (2):

$v_1^2 = (v_1 - v'_{2,упр})^2 + (v'_{2,упр})^2$

$v_1^2 = v_1^2 - 2v_1 v'_{2,упр} + (v'_{2,упр})^2 + (v'_{2,упр})^2$

$0 = -2v_1 v'_{2,упр} + 2(v'_{2,упр})^2$

$2v'_{2,упр}(v'_{2,упр} - v_1) = 0$

Получаем два решения: $v'_{2,упр} = 0$ (шары не столкнулись) и $v'_{2,упр} = v_1$. Физический смысл имеет второе решение.

Таким образом, при упругом ударе неподвижный шар приобретает скорость, равную начальной скорости налетающего шара:

$v'_{2,упр} = v_1$

2. Абсолютно неупругий удар

При абсолютно неупругом ударе шары слипаются и движутся дальше как единое целое с общей скоростью $V$. При этом выполняется только закон сохранения импульса.

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)V$

Подставляя данные задачи:

$m v_1 + 0 = (m + m)V$

$m v_1 = 2m V$

Отсюда находим общую скорость шаров после удара:

$V = \frac{m v_1}{2m} = \frac{v_1}{2}$

Скорость, которую приобретает второй шар, равна этой общей скорости:

$v'_{2,неупр} = V = \frac{v_1}{2}$

3. Нахождение отношения скоростей

Теперь найдем, во сколько раз скорость второго шара при упругом ударе больше, чем при неупругом:

$\frac{v'_{2,упр}}{v'_{2,неупр}} = \frac{v_1}{\frac{v_1}{2}} = 2$

Ответ: Скорость, приобретаемая неподвижным шаром, при упругом ударе в 2 раза больше, чем при неупругом.