Номер 5, страница 151 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 4. Законы сохранения. Параграф 34. Абсолютно неупругое и абсолютно упругое столкновения. Вопросы - номер 5, страница 151.

Условие.

5. Почему в результате абсолютно упругого столкновения одинаковых шаров шар, движущийся с большей скоростью, замедляется, а шар, движущийся с меньшей скоростью, ускоряется?

Решение.

5. Это явление является прямым следствием законов сохранения импульса и сохранения кинетической энергии, которые выполняются при абсолютно упругом столкновении. Чтобы показать это математически, рассмотрим столкновение двух шаров.

Дано:
Абсолютно упругое столкновение.
Два одинаковых шара, массы которых равны: $m_1 = m_2 = m$.
Начальные скорости шаров: $v_1$ и $v_2$.
Первый шар движется быстрее второго: $v_1 > v_2$.

Найти:
Объяснить, почему после столкновения скорость первого шара уменьшается ($u_1 < v_1$), а скорость второго шара увеличивается ($u_2 > v_2$).

Решение:

Рассмотрим систему из двух шаров. Так как столкновение абсолютно упругое и система замкнута, для нее одновременно выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии. Для простоты будем считать движение одномерным (центральный удар).

1. Закон сохранения импульса: Суммарный импульс системы до столкновения равен суммарному импульсу после столкновения. $m_1v_1 + m_2v_2 = m_1u_1 + m_2u_2$ Поскольку массы шаров одинаковы ($m_1 = m_2 = m$), можно сократить массу в уравнении: $m(v_1 + v_2) = m(u_1 + u_2)$ $v_1 + v_2 = u_1 + u_2$ (1)

2. Закон сохранения кинетической энергии: При абсолютно упругом столкновении полная кинетическая энергия системы сохраняется. $\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{m_1u_1^2}{2} + \frac{m_2u_2^2}{2}$ Снова сократим одинаковые массы и множитель $1/2$: $v_1^2 + v_2^2 = u_1^2 + u_2^2$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными — скоростями после столкновения $u_1$ и $u_2$. Решим эту систему. Из уравнения (1) выразим $u_1$: $u_1 = v_1 + v_2 - u_2$ Подставим это выражение в уравнение (2): $v_1^2 + v_2^2 = (v_1 + v_2 - u_2)^2 + u_2^2$ Раскроем квадрат разности: $v_1^2 + v_2^2 = (v_1 + v_2)^2 - 2u_2(v_1 + v_2) + u_2^2 + u_2^2$ $v_1^2 + v_2^2 = v_1^2 + 2v_1v_2 + v_2^2 - 2u_2(v_1 + v_2) + 2u_2^2$ Упростим уравнение, сократив $v_1^2$ и $v_2^2$: $0 = 2v_1v_2 - 2u_2(v_1 + v_2) + 2u_2^2$ Разделим все члены на 2: $u_2^2 - u_2(v_1 + v_2) + v_1v_2 = 0$ Это квадратное уравнение относительно $u_2$, которое можно разложить на множители: $(u_2 - v_1)(u_2 - v_2) = 0$

У этого уравнения есть два возможных решения:
а) $u_2 = v_2$. Если подставить это решение в уравнение (1), то получим $u_1 = v_1$. Это означает, что скорости шаров не изменились, то есть столкновения не произошло. Этот тривиальный случай нас не интересует.
б) $u_2 = v_1$. Это физически значимое решение, описывающее результат столкновения.

Теперь найдем $u_1$, подставив $u_2 = v_1$ в уравнение (1): $v_1 + v_2 = u_1 + v_1$ Отсюда получаем: $u_1 = v_2$

Итак, в результате абсолютно упругого столкновения скорости одинаковых шаров стали: $u_1 = v_2$ $u_2 = v_1$ Это означает, что шары обменялись скоростями.

Поскольку по условию задачи первый шар двигался с большей скоростью ($v_1 > v_2$), то после столкновения его скорость стала $u_1 = v_2$, что меньше его начальной скорости ($u_1 < v_1$). Следовательно, быстрый шар замедлился. Скорость второго, более медленного шара, стала $u_2 = v_1$, что больше его начальной скорости ($u_2 > v_2$). Следовательно, медленный шар ускорился.

Ответ: При абсолютно упругом столкновении двух одинаковых шаров происходит обмен скоростями между ними. Это является следствием одновременного выполнения законов сохранения импульса и кинетической энергии. В результате шар, имевший большую начальную скорость, после столкновения приобретает меньшую начальную скорость другого шара (замедляется), а шар, имевший меньшую скорость, приобретает большую скорость первого (ускоряется).