Номер 3, страница 176 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 38. Вынужденные колебания. Резонанс. 5. Динамика периодического движения. Механика - номер 3, страница 176.

Условие.

3. Ускорение пружинного маятника, совершающего вынужденные колебания по оси X, изменяется со временем по закону $a_x = -0,8\cos 4t$ ($\text{м}/\text{с}^2$). Определите амплитуду колебаний маятника.

Решение.

Дано:

Закон изменения ускорения пружинного маятника: $a_x(t) = -0,8 \cos(4t)$ (м/с²)

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Амплитуду колебаний $A$.

Решение:

Уравнение гармонических колебаний для координаты тела имеет вид $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $A$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, а $\phi_0$ — начальная фаза.

Ускорение тела при гармонических колебаниях является второй производной от координаты по времени. Найдем ее:

Скорость (первая производная): $v_x(t) = x'(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi_0)$.

Ускорение (вторая производная): $a_x(t) = v_x'(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi_0)$.

Это общее уравнение для проекции ускорения. Амплитудное (максимальное по модулю) значение ускорения равно $a_{max} = A\omega^2$.

Сравним общее уравнение $a_x(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi_0)$ с уравнением, данным в условии задачи: $a_x(t) = -0,8 \cos(4t)$.

Из сравнения двух выражений можно определить:

1. Циклическую частоту колебаний $\omega = 4$ рад/с.

2. Амплитуду ускорения $a_{max} = 0,8$ м/с².

Зная, что $a_{max} = A\omega^2$, выразим из этой формулы амплитуду колебаний $A$:

$A = \frac{a_{max}}{\omega^2}$

Подставим численные значения:

$A = \frac{0,8}{(4)^2} = \frac{0,8}{16} = 0,05$ м.

Ответ: 0,05 м.