Номер 2, страница 176 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 5. Динамика периодического движения. Параграф 38. Вынужденные колебания. Резонанс. Задачи - номер 2, страница 176.

Условие.

2. Шар массой $m = 0,1$ кг присоединяется к горизонтально расположенной, закреплённой на другом конце пружине. Амплитуда колебаний шара под действием внешней вынуждающей силы $F = 0,25\cos 5t$ (Н) возрастает в 5 раз по сравнению со статическим смещением. Определите жёсткость пружины.

Решение.

Дано:

Масса шара: $m = 0,1$ кг

Внешняя вынуждающая сила: $F(t) = 0,25 \cos(5t)$ Н

Отношение амплитуды колебаний к статическому смещению: $\frac{A}{x_{ст}} = 5$

Найти:

Жёсткость пружины: $k$

Решение:

Вынужденные колебания шара происходят под действием внешней силы, которая изменяется по гармоническому закону $F(t) = F_0 \cos(\omega t)$. Из уравнения, данного в условии, $F = 0,25 \cos(5t)$, находим амплитуду вынуждающей силы $F_0$ и её циклическую частоту $\omega$:

$F_0 = 0,25$ Н

$\omega = 5$ рад/с

Статическое смещение $x_{ст}$ – это смещение, которое получил бы шар под действием постоянной силы, равной амплитуде вынуждающей силы $F_0$. Согласно закону Гука:

$F_0 = k x_{ст}$

Отсюда, статическое смещение равно: $x_{ст} = \frac{F_0}{k}$.

Амплитуда $A$ установившихся вынужденных колебаний для системы без затухания (когда затуханием можно пренебречь) определяется по формуле:

$A = \frac{F_0}{|k - m\omega^2|}$

где $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ – собственная циклическая частота колебаний системы.

По условию задачи, амплитуда колебаний в 5 раз больше статического смещения:

$A = 5 x_{ст}$

Подставим выражения для $A$ и $x_{ст}$ в это соотношение:

$\frac{F_0}{|k - m\omega^2|} = 5 \cdot \frac{F_0}{k}$

Сократим обе части уравнения на $F_0$ (так как амплитуда силы не равна нулю):

$\frac{1}{|k - m\omega^2|} = \frac{5}{k}$

Отсюда получаем уравнение для нахождения жёсткости $k$:

$k = 5|k - m\omega^2|$

Раскроем модуль, рассмотрев два возможных случая.

Случай 1. Выражение под модулем положительно: $k - m\omega^2 > 0$. Это соответствует случаю, когда собственная частота колебаний системы больше частоты вынуждающей силы ($\omega_0 > \omega$).

$k = 5(k - m\omega^2)$

$k = 5k - 5m\omega^2$

$4k = 5m\omega^2$

$k_1 = \frac{5}{4}m\omega^2$

Случай 2. Выражение под модулем отрицательно: $k - m\omega^2 < 0$. Это соответствует случаю, когда собственная частота колебаний системы меньше частоты вынуждающей силы ($\omega_0 < \omega$).

$k = -5(k - m\omega^2)$

$k = -5k + 5m\omega^2$

$6k = 5m\omega^2$

$k_2 = \frac{5}{6}m\omega^2$

Теперь подставим числовые значения $m = 0,1$ кг и $\omega = 5$ рад/с в полученные формулы.

Для первого случая:

$k_1 = \frac{5}{4} \cdot 0,1 \cdot 5^2 = 1,25 \cdot 0,1 \cdot 25 = 3,125$ Н/м.

Проверим условие: $k_1 > m\omega^2 \implies 3,125 > 0,1 \cdot 25 \implies 3,125 > 2,5$. Условие выполняется.

Для второго случая:

$k_2 = \frac{5}{6} \cdot 0,1 \cdot 5^2 = \frac{5}{6} \cdot 2,5 = \frac{12,5}{6} \approx 2,083$ Н/м.

Проверим условие: $k_2 < m\omega^2 \implies 2,083 < 2,5$. Условие также выполняется.

Так как в условии задачи нет дополнительной информации, позволяющей выбрать один из двух случаев, оба решения являются физически возможными.

Ответ: жёсткость пружины может быть равна $3,125$ Н/м или приблизительно $2,08$ Н/м.