Номер 4, страница 176 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 5. Динамика периодического движения. Параграф 38. Вынужденные колебания. Резонанс. Задачи - номер 4, страница 176.

Условие.

4. На пружинный маятник, имеющий частоту собственных колебаний $\omega_0 = 114,6 \text{ рад/с}$, действуют последовательно вынуждающие силы $F_1 = 0,5\cos 1,9t \text{ (Н)}$ и $F_2 = 0,5\cos 1,95t \text{ (Н)}$ одинаковой амплитуды, но разной частоты. Жёсткость пружины $k = 50 \text{ Н/м}$. Чему равна амплитуда вынужденных колебаний маятника, происходящих под действием каждой из этих сил?

Решение.

Дано:

Частота собственных колебаний $ \omega_0 = 114.6 \text{ рад/с} $

Вынуждающая сила $ F_1 = 0.5 \cos(1.9t) \text{ (Н)} $

Вынуждающая сила $ F_2 = 0.5 \cos(1.95t) \text{ (Н)} $

Жёсткость пружины $ k = 50 \text{ Н/м} $

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$ A_1 $ — амплитуда колебаний под действием силы $ F_1 $.

$ A_2 $ — амплитуда колебаний под действием силы $ F_2 $.

Решение:

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний в отсутствие затухания определяется по формуле:

$ A = \frac{F_0}{m|\omega_0^2 - \omega^2|} $

где $ F_0 $ — амплитуда вынуждающей силы, $ m $ — масса маятника, $ \omega_0 $ — собственная циклическая частота колебаний, а $ \omega $ — циклическая частота вынуждающей силы.

Массу маятника $ m $ можно найти из формулы для собственной частоты пружинного маятника: $ \omega_0^2 = \frac{k}{m} $, откуда $ m = \frac{k}{\omega_0^2} $.

Подставим это выражение в формулу для амплитуды, чтобы исключить массу:

$ A = \frac{F_0}{\frac{k}{\omega_0^2}|\omega_0^2 - \omega^2|} = \frac{F_0}{k|1 - \frac{\omega^2}{\omega_0^2}|} $

Эта формула удобна, так как не требует предварительного вычисления массы. Теперь рассчитаем амплитуды для каждой из сил.

Амплитуда колебаний под действием силы $ F_1 $

Для силы $ F_1 = 0.5 \cos(1.9t) \text{ (Н)} $, амплитуда силы $ F_{01} = 0.5 \text{ Н} $, а циклическая частота $ \omega_1 = 1.9 \text{ рад/с} $.

Подставляем значения в выведенную формулу:

$ A_1 = \frac{0.5}{50|1 - \frac{(1.9)^2}{(114.6)^2}|} = \frac{0.01}{|1 - \frac{3.61}{13133.16}|} = \frac{0.01}{|1 - 0.0002748|} \approx \frac{0.01}{0.999725} \approx 0.0100027 \text{ м} $

Так как частота вынуждающей силы $ \omega_1 $ много меньше собственной частоты $ \omega_0 $ ($1.9 \ll 114.6$), то отношение $ (\omega_1/\omega_0)^2 $ очень близко к нулю. Поэтому амплитуду можно с высокой точностью найти по упрощенной формуле для квазистатического режима: $ A_1 \approx \frac{F_{01}}{k} = \frac{0.5 \text{ Н}}{50 \text{ Н/м}} = 0.01 \text{ м} $.

Ответ: $ A_1 \approx 0.01 \text{ м} $ (или 1 см).

Амплитуда колебаний под действием силы $ F_2 $

Для силы $ F_2 = 0.5 \cos(1.95t) \text{ (Н)} $, амплитуда силы $ F_{02} = 0.5 \text{ Н} $, а циклическая частота $ \omega_2 = 1.95 \text{ рад/с} $.

Подставляем значения в формулу:

$ A_2 = \frac{0.5}{50|1 - \frac{(1.95)^2}{(114.6)^2}|} = \frac{0.01}{|1 - \frac{3.8025}{13133.16}|} = \frac{0.01}{|1 - 0.0002895|} \approx \frac{0.01}{0.99971} \approx 0.0100029 \text{ м} $

Аналогично первому случаю, $ \omega_2 \ll \omega_0 $, и приближенный расчет дает тот же результат: $ A_2 \approx \frac{F_{02}}{k} = \frac{0.5 \text{ Н}}{50 \text{ Н/м}} = 0.01 \text{ м} $.

Ответ: $ A_2 \approx 0.01 \text{ м} $ (или 1 см).