Номер 1, страница 176 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 5. Динамика периодического движения. Параграф 38. Вынужденные колебания. Резонанс. Задачи - номер 1, страница 176.

Условие.

1. Шар массой $m = 0,1$ кг, находящийся на гладком горизонтальном столе, колеблется под действием внешней силы, изменяющейся с течением времени по закону $F = 0,25\cos 5t$ (Н). Найдите зависимость ускорения шара от времени, его максимальное ускорение. Чему равна амплитуда колебаний шара?

Решение.

Дано:

Масса шара, $m = 0,1$ кг
Закон изменения внешней силы, $F(t) = 0,25\cos(5t)$ (Н)

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Зависимость ускорения шара от времени $a(t)$;
Максимальное ускорение $a_{max}$;
Амплитуду колебаний шара $A$.

Решение:

Зависимость ускорения шара от времени

Воспользуемся вторым законом Ньютона, который связывает силу, массу и ускорение тела: $F = ma$. Выразим из этой формулы ускорение $a$:

$a = \frac{F}{m}$

Поскольку сила является функцией времени $F(t)$, ускорение также будет функцией времени $a(t)$. Подставим в формулу данные из условия задачи:

$a(t) = \frac{0,25\cos(5t)}{0,1} = 2,5\cos(5t)$

Таким образом, ускорение шара изменяется по гармоническому закону.

Ответ: Зависимость ускорения шара от времени описывается уравнением $a(t) = 2,5\cos(5t)$ (м/с²).

Максимальное ускорение

Максимальное значение ускорения (или амплитуда ускорения) $a_{max}$ соответствует максимальному значению функции $a(t) = 2,5\cos(5t)$. Функция косинуса принимает максимальное значение, равное 1. Следовательно:

$a_{max} = 2,5 \cdot \max(\cos(5t)) = 2,5 \cdot 1 = 2,5$ м/с²

Ответ: Максимальное ускорение шара равно $2,5$ м/с².

Амплитуда колебаний шара

При гармонических колебаниях ускорение связано с координатой по формуле $a(t) = - \omega^2 x(t)$, а максимальное ускорение связано с амплитудой колебаний $A$ и циклической частотой $\omega$ соотношением:

$a_{max} = A \omega^2$

Из уравнения для ускорения $a(t) = 2,5\cos(5t)$ мы видим, что амплитуда ускорения $a_{max} = 2,5$ м/с², а циклическая частота $\omega = 5$ рад/с.

Выразим амплитуду колебаний $A$ из формулы для максимального ускорения:

$A = \frac{a_{max}}{\omega^2}$

Подставим числовые значения:

$A = \frac{2,5}{5^2} = \frac{2,5}{25} = 0,1$ м

Ответ: Амплитуда колебаний шара равна $0,1$ м.