Номер 4, страница 170 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 5. Динамика периодического движения. Параграф 37. Колебательная система под действием внешних сил, не зависящих от времени. Задачи - номер 4, страница 170.

Условие.

4. Отклонение от положения равновесия горизонтального пружинного маятника изменяется с течением времени по закону $x = 0,04\cos^2 \pi t$ (м). Найдите статическое смещение, амплитуду и период колебаний маятника.

Решение.

Дано:

Уравнение отклонения маятника от положения равновесия: $x = 0,04\cos^2(\pi t)$ (м). Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Статическое смещение ($x_0$), амплитуду ($A$) и период колебаний ($T$).

Решение:

Исходное уравнение $x(t) = 0,04\cos^2(\pi t)$ описывает колебательный процесс, но не в стандартной форме гармонического колебания $x(t) = x_0 + A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $x_0$ – положение равновесия (статическое смещение), $A$ – амплитуда, $\omega$ – циклическая частота, $\phi_0$ – начальная фаза.

Для приведения уравнения к стандартному виду используем тригонометрическую формулу понижения степени:

$\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$

Применим эту формулу к данному уравнению, подставив $\alpha = \pi t$:

$x(t) = 0,04 \cdot \left( \frac{1 + \cos(2\pi t)}{2} \right) = 0,02 \cdot (1 + \cos(2\pi t))$

Раскрыв скобки, получим:

$x(t) = 0,02 + 0,02\cos(2\pi t)$

Теперь это уравнение соответствует стандартной форме $x(t) = x_0 + A \cos(\omega t)$, из которого мы можем определить искомые величины.

Статическое смещение

Статическое смещение $x_0$ – это постоянная составляющая в уравнении, которая определяет центр колебаний. Из полученного уравнения $x(t) = 0,02 + 0,02\cos(2\pi t)$ видно, что колебания происходят вокруг точки $x_0 = 0,02$ м.

Ответ: Статическое смещение равно 0,02 м.

Амплитуда

Амплитуда $A$ – это максимальное отклонение от положения равновесия. В уравнении $x(t) = 0,02 + 0,02\cos(2\pi t)$ она представляет собой коэффициент перед функцией косинуса. Таким образом, $A = 0,02$ м.

Ответ: Амплитуда колебаний равна 0,02 м.

Период колебаний

Период колебаний $T$ связан с циклической частотой $\omega$ формулой $T = \frac{2\pi}{\omega}$. В нашем уравнении $x(t) = 0,02 + 0,02\cos(2\pi t)$ множитель при времени $t$ под знаком косинуса является циклической частотой, то есть $\omega = 2\pi$ рад/с.

Теперь найдем период:

$T = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$ с.

Ответ: Период колебаний равен 1 с.