Номер 5, страница 170 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 5. Динамика периодического движения. Параграф 37. Колебательная система под действием внешних сил, не зависящих от времени. Задачи - номер 5, страница 170.

Условие.

5. Отклонение от положения равновесия горизонтального пружинного маятника массой $m = 1 \text{ кг}$ зависит от времени по закону $x = -0.04\sin^2 (\pi t) \text{ (м)}$. Определите статическое смещение, амплитуду, период и циклическую частоту колебаний, число колебаний в единицу времени, жёсткость пружины и постоянную силу, действующую на маятник.

Решение.

Дано:

Масса маятника: $ m = 1 $ кг

Закон движения: $ x = -0,04\sin^2(\pi t) $ (м)

Найти:

Статическое смещение: $ x_{ст} $

Амплитуду: $ A $

Период: $ T $

Циклическую частоту: $ \omega $

Число колебаний в единицу времени: $ \nu $

Жёсткость пружины: $ k $

Постоянную силу: $ F_{пост} $

Решение:

Для определения параметров колебаний преобразуем данное уравнение движения. Воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени $ \sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $.

$ x(t) = -0,04 \cdot \sin^2(\pi t) = -0,04 \cdot \frac{1 - \cos(2\pi t)}{2} $

$ x(t) = -0,02 \cdot (1 - \cos(2\pi t)) = -0,02 + 0,02\cos(2\pi t) $

Полученное уравнение имеет вид $ x(t) = x_{ст} + A\cos(\omega t) $, который описывает гармонические колебания около смещенного положения равновесия $ x_{ст} $.

Сравнивая общее уравнение с полученным, последовательно находим все искомые величины.

Статическое смещение

Статическое смещение $ x_{ст} $ — это постоянное слагаемое в уравнении движения, которое соответствует центру колебаний.

$ x_{ст} = -0,02 $ м.

Ответ: Статическое смещение равно $ -0,02 $ м.

Амплитуда

Амплитуда $ A $ — это коэффициент при гармонической функции (косинусе), определяющий максимальное отклонение от положения равновесия.

$ A = 0,02 $ м.

Ответ: Амплитуда колебаний равна $ 0,02 $ м.

Период и циклическая частота колебаний

Циклическая частота $ \omega $ — это множитель при времени $ t $ в аргументе косинуса. Из уравнения $ x(t) = -0,02 + 0,02\cos(2\pi t) $ находим:

$ \omega = 2\pi $ рад/с.

Период колебаний $ T $ связан с циклической частотой формулой $ T = \frac{2\pi}{\omega} $.

$ T = \frac{2\pi}{2\pi} = 1 $ с.

Ответ: Циклическая частота $ \omega = 2\pi $ рад/с, период $ T = 1 $ с.

Число колебаний в единицу времени

Число колебаний в единицу времени — это линейная частота $ \nu $, которая является величиной, обратной периоду: $ \nu = \frac{1}{T} $.

$ \nu = \frac{1}{1 \text{ с}} = 1 $ Гц.

Ответ: Число колебаний в единицу времени равно $ 1 $ Гц.

Жёсткость пружины

Циклическая частота колебаний пружинного маятника определяется его массой $ m $ и жёсткостью пружины $ k $ по формуле $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $. Отсюда можно выразить жёсткость:

$ k = m\omega^2 $

$ k = 1 \text{ кг} \cdot (2\pi \text{ рад/с})^2 = 4\pi^2 \text{ Н/м} \approx 39,48 \text{ Н/м} $.

Ответ: Жёсткость пружины $ k = 4\pi^2 $ Н/м.

Постоянная сила, действующая на маятник

Наличие статического смещения $ x_{ст} $ означает, что на маятник действует постоянная сила $ F_{пост} $. В положении равновесия эта сила уравновешивается силой упругости пружины: $ F_{пост} = k \cdot x_{ст} $.

$ F_{пост} = (4\pi^2 \text{ Н/м}) \cdot (-0,02 \text{ м}) = -0,08\pi^2 \text{ Н} \approx -0,79 \text{ Н} $.

Знак «минус» указывает на то, что сила направлена противоположно положительному направлению оси $ x $.

Ответ: Постоянная сила, действующая на маятник, равна $ F_{пост} = -0,08\pi^2 $ Н.