Номер 5, страница 170 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Вопросы. Параграф 37. Колебательная система под действием внешних сил, не зависящих от времени. 5. Динамика периодического движения. Механика - номер 5, страница 170.

Условие.

5. Что такое статическое смещение? Изменяются ли характеристики свободных колебаний при наличии статического смещения?

Решение.

Что такое статическое смещение?

Статическое смещение — это смещение положения равновесия колебательной системы под действием постоянной внешней силы (например, силы тяжести). Если на систему, способную совершать колебания (например, груз на пружине), действует постоянная сила, то ее положение равновесия сдвигается. Новые колебания, если их возбудить, будут происходить уже вокруг этого нового, смещенного положения равновесия.

Например, для груза массой $m$, подвешенного на пружине жесткостью $k$, сила тяжести $F_g = mg$ вызывает растяжение пружины до тех пор, пока сила упругости $F_{упр}$ не уравновесит ее. Смещение $x_{ст}$, при котором $mg = kx_{ст}$, и называется статическим смещением. Оно равно $x_{ст} = \frac{mg}{k}$.

Ответ: Статическое смещение — это смещение положения равновесия системы, вызванное действием постоянной внешней силы. Колебания происходят вокруг этого нового положения равновесия.

Изменяются ли характеристики свободных колебаний при наличии статического смещения?

Нет, основные характеристики свободных колебаний, такие как период и собственная частота, не изменяются. Они определяются только внутренними параметрами системы (такими как масса и жесткость) и не зависят от постоянной внешней силы, вызывающей статическое смещение.

Решение

Рассмотрим движение вертикального пружинного маятника. Пусть ось $x$ направлена вертикально вниз, а начало отсчета ($x=0$) соответствует положению конца пружины в недеформированном состоянии.

При подвешивании груза массой $m$ пружина растягивается, и система приходит в новое положение равновесия $x_{ст}$, определяемое условием равенства сил:

$mg = kx_{ст}$

Если сместить груз из этого нового положения равновесия на малую величину $x'$, то его полная координата станет $x = x_{ст} + x'$.

Запишем второй закон Ньютона для движения груза:

$ma = \sum F$

$m\ddot{x} = mg - F_{упр} = mg - kx$

Подставим в уравнение выражение для координаты $x = x_{ст} + x'$:

$m\frac{d^2(x_{ст} + x')}{dt^2} = mg - k(x_{ст} + x')$

Поскольку статическое смещение $x_{ст}$ является постоянной величиной, его вторая производная по времени равна нулю ($\ddot{x}_{ст} = 0$). Уравнение принимает вид:

$m\ddot{x'} = mg - kx_{ст} - kx'$

Из условия равновесия мы знаем, что $mg = kx_{ст}$. Заменим $mg$ в уравнении:

$m\ddot{x'} = kx_{ст} - kx_{ст} - kx'$

$m\ddot{x'} = -kx'$

Мы получили дифференциальное уравнение $\ddot{x'} + \frac{k}{m}x' = 0$, которое описывает гармонические колебания. Циклическая частота этих колебаний $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$, а период $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.

Как видно из полученных формул, ни частота, ни период колебаний не зависят от силы тяжести $mg$ или статического смещения $x_{ст}$. Они определяются только массой груза $m$ и жесткостью пружины $k$.

Ответ: Нет, основные характеристики свободных колебаний (период, частота) не изменяются. Изменяется только положение равновесия, вокруг которого происходят колебания.