Номер 5, страница 167 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 36. Динамика свободных колебаний. 5. Динамика периодического движения. Механика - номер 5, страница 167.

Условие.

5. Горизонтальный пружинный маятник с периодом собственных колебаний $\text{T}$ отклоняют от положения равновесия на расстояние $\text{a}$ и отпускают без начальной скорости. Чему равна скорость маятника на расстоянии $a/2$ от положения равновесия?

Решение.

Дано:

Период собственных колебаний: $T$

Амплитуда колебаний: $A = a$

Начальная скорость в точке максимального отклонения: $v_A = 0$

Координата: $x = a/2$

Найти:

Скорость маятника $v$ в точке с координатой $x = a/2$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения полной механической энергии для пружинного маятника. Поскольку маятник горизонтальный и трения нет, полная механическая энергия системы (сумма кинетической и потенциальной энергий) сохраняется.

Полная механическая энергия $E$ в любой точке траектории равна:

$E = E_к + E_п = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$

где $m$ — масса тела, $v$ — его скорость, $k$ — жесткость пружины, $x$ — смещение от положения равновесия.

В начальный момент времени маятник отклонен на максимальное расстояние $a$ (амплитуда) и его скорость равна нулю. В этой точке вся энергия является потенциальной:

$E = \frac{m \cdot 0^2}{2} + \frac{ka^2}{2} = \frac{ka^2}{2}$

В момент, когда маятник находится на расстоянии $x = a/2$ от положения равновесия, его полная энергия складывается из кинетической и потенциальной:

$E = \frac{mv^2}{2} + \frac{k(a/2)^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{ka^2}{8}$

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия в обоих случаях одинакова. Приравняем выражения для энергии:

$\frac{ka^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{ka^2}{8}$

Выразим из этого уравнения скорость $v$:

$\frac{mv^2}{2} = \frac{ka^2}{2} - \frac{ka^2}{8} = \frac{4ka^2 - ka^2}{8} = \frac{3ka^2}{8}$

$mv^2 = \frac{3ka^2}{4}$

$v^2 = \frac{3ka^2}{4m}$

$v = \sqrt{\frac{3ka^2}{4m}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\sqrt{\frac{k}{m}}$

Период колебаний пружинного маятника $T$ связан с массой $m$ и жесткостью пружины $k$ формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Из этой формулы выразим отношение $\sqrt{\frac{k}{m}}$:

$\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{2\pi}{T}$

Подставим это выражение в формулу для скорости $v$:

$v = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2\pi}{T} = \frac{\pi a\sqrt{3}}{T}$

Ответ: Скорость маятника на расстоянии $a/2$ от положения равновесия равна $v = \frac{\pi a\sqrt{3}}{T}$.