Номер 2, страница 167 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 5. Динамика периодического движения. Параграф 36. Динамика свободных колебаний. Задачи - номер 2, страница 167.

Условие.

2. Горизонтальному пружинному маятнику сообщается начальная скорость $v_0$, направленная от положения равновесия. Найдите максимальное отклонение маятника от положения равновесия, если известна частота собственных колебаний маятника $\omega_0$.

Решение.

Дано:

Начальная скорость в положении равновесия $v_0$

Частота собственных колебаний $\omega_0$

Найти:

Максимальное отклонение от положения равновесия $x_{max}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Полная механическая энергия $E$ пружинного маятника является суммой его кинетической энергии $K$ и потенциальной энергии упругой деформации пружины $U$.

$E = K + U = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$

где $m$ – масса тела маятника, $v$ – его скорость, $k$ – жесткость пружины, а $x$ – отклонение от положения равновесия.

В начальный момент времени маятник находится в положении равновесия ($x=0$), и ему сообщается скорость $v_0$. В этот момент вся энергия маятника является кинетической, так как потенциальная энергия пружины равна нулю.

$E_1 = K_{max} + U_{min} = \frac{mv_0^2}{2} + \frac{k \cdot 0^2}{2} = \frac{mv_0^2}{2}$

Когда маятник достигает максимального отклонения от положения равновесия $x_{max}$ (это и есть амплитуда колебаний), его скорость на мгновение становится равной нулю ($v=0$). В этой точке вся энергия маятника является потенциальной.

$E_2 = K_{min} + U_{max} = \frac{m \cdot 0^2}{2} + \frac{kx_{max}^2}{2} = \frac{kx_{max}^2}{2}$

Поскольку в системе отсутствуют силы трения (идеальный случай), полная механическая энергия сохраняется, то есть $E_1 = E_2$.

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{kx_{max}^2}{2}$

Отсюда можем выразить максимальное отклонение $x_{max}$:

$mv_0^2 = kx_{max}^2$

$x_{max}^2 = \frac{m}{k}v_0^2$

$x_{max} = \sqrt{\frac{m}{k}} \cdot v_0$

Известно, что циклическая частота собственных колебаний пружинного маятника $\omega_0$ определяется как:

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Следовательно, величина $\sqrt{\frac{m}{k}} = \frac{1}{\omega_0}$.

Подставим это соотношение в выражение для $x_{max}$:

$x_{max} = \frac{v_0}{\omega_0}$

Ответ: Максимальное отклонение маятника от положения равновесия равно $x_{max} = \frac{v_0}{\omega_0}$.