Номер 3, страница 167 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 5. Динамика периодического движения. Параграф 36. Динамика свободных колебаний. Задачи - номер 3, страница 167.

Условие.

3. Смещение горизонтального пружинного маятника массой 10 г от положения равновесия изменяется по закону $x = 0,4\sin \left(\frac{\pi}{4}t\right)$ (м). Определите жёсткость пружины. Постройте графики зависимости кинетической и потенциальной энергии маятника от времени. С какой частотой изменяется с течением времени кинетическая и потенциальная энергия? Чему равна полная механическая энергия маятника?

Решение.

Дано:

Масса маятника: $m = 10 \text{ г}$
Закон изменения смещения: $x(t) = 0,4\sin\left(\frac{\pi}{4}t\right) \text{ (м)}$

Перевод в систему СИ:
$m = 10 \times 10^{-3} \text{ кг} = 0,01 \text{ кг}$

Найти:

1. Жёсткость пружины $k$
2. Графики $E_k(t)$ и $E_p(t)$
3. Частоту изменения энергии $\nu_E$
4. Полную механическую энергию $E$

Решение:

Общий вид уравнения гармонических колебаний: $x(t) = A\sin(\omega t + \phi_0)$, где $A$ – амплитуда, $\omega$ – циклическая (круговая) частота. Сравнивая с заданным уравнением $x(t) = 0,4\sin\left(\frac{\pi}{4}t\right)$, находим:
Амплитуда колебаний: $A = 0,4 \text{ м}$
Циклическая частота колебаний: $\omega = \frac{\pi}{4} \text{ рад/с}$

Определите жёсткость пружины.

Циклическая частота колебаний пружинного маятника связана с его массой $m$ и жёсткостью пружины $k$ соотношением: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$
Отсюда выражаем жёсткость $k$: $k = m\omega^2$
Подставляем числовые значения: $k = 0,01 \text{ кг} \cdot \left(\frac{\pi}{4} \frac{\text{рад}}{\text{с}}\right)^2 = 0,01 \cdot \frac{\pi^2}{16} \frac{\text{Н}}{\text{м}} = \frac{\pi^2}{1600} \frac{\text{Н}}{\text{м}}$
Приближенное значение, если $\pi^2 \approx 9,87$: $k \approx \frac{9,87}{1600} \approx 0,00617 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

Ответ: Жёсткость пружины $k = \frac{\pi^2}{1600} \frac{\text{Н}}{\text{м}} \approx 0,0062 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$.

Постройте графики зависимости кинетической и потенциальной энергии маятника от времени.

Потенциальная энергия пружины $E_p$ в любой момент времени $t$ определяется формулой $E_p(t) = \frac{kx(t)^2}{2}$. Подставляя закон движения $x(t)$, получаем: $E_p(t) = \frac{k(A\sin(\omega t))^2}{2} = \frac{kA^2}{2}\sin^2(\omega t)$

Скорость маятника $v(t)$ является первой производной от смещения по времени: $v(t) = x'(t) = (A\sin(\omega t))' = A\omega\cos(\omega t)$
Кинетическая энергия маятника $E_k$ в любой момент времени $t$ определяется формулой $E_k(t) = \frac{mv(t)^2}{2}$. Подставляя выражение для скорости, получаем: $E_k(t) = \frac{m(A\omega\cos(\omega t))^2}{2} = \frac{mA^2\omega^2}{2}\cos^2(\omega t)$
Так как $k = m\omega^2$, то выражение для кинетической энергии можно переписать: $E_k(t) = \frac{kA^2}{2}\cos^2(\omega t)$

Величина $\frac{kA^2}{2}$ представляет собой полную механическую энергию маятника $E$. Вычислим её значение: $E = \frac{kA^2}{2} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\pi^2}{1600} \frac{\text{Н}}{\text{м}}\right) \cdot (0,4 \text{ м})^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{1600} \cdot 0,16 = \frac{0,08 \pi^2}{1600} = \frac{\pi^2}{20000} \text{ Дж}$
$E \approx \frac{9,87}{20000} \approx 0,0004935 \text{ Дж} \approx 0,49 \text{ мДж}$

Таким образом, $E_p(t) = E\sin^2(\frac{\pi}{4} t)$ и $E_k(t) = E\cos^2(\frac{\pi}{4} t)$. Период колебаний маятника: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi/4} = 8 \text{ с}$.
Период колебаний энергии в два раза меньше: $T_E = \frac{T}{2} = 4 \text{ с}$.

Описание графиков:
Оба графика представляют собой периодические функции с периодом $T_E = 4$ с. Энергия колеблется в пределах от 0 до $E \approx 0,49$ мДж.
График потенциальной энергии $E_p(t)$: кривая, начинающаяся в точке (0, 0), так как $x(0)=0$. Она достигает своего максимума $E$ в моменты времени $t=2$ с, $6$ с и т.д. (когда маятник в крайних положениях). Она равна нулю в моменты времени $t=0$ с, $4$ с, $8$ с и т.д. (когда маятник проходит положение равновесия).
График кинетической энергии $E_k(t)$: кривая, находящаяся в противофазе с графиком потенциальной энергии. Она начинается в точке (0, $E$), так как при $t=0$ скорость маятника максимальна. Она равна нулю в моменты времени $t=2$ с, $6$ с и т.д. (в крайних точках, где скорость равна нулю). Она достигает максимума $E$ в моменты $t=0$ с, $4$ с, $8$ с и т.д. (при прохождении положения равновесия).
Сумма ординат этих двух графиков в любой момент времени постоянна и равна полной энергии $E$.

Ответ: Графики кинетической и потенциальной энергии являются гармоническими кривыми, колеблющимися в противофазе между 0 и $E \approx 0,49$ мДж с периодом 4 с. График потенциальной энергии пропорционален $\sin^2(\frac{\pi}{4} t)$, а кинетической — $\cos^2(\frac{\pi}{4} t)$.

С какой частотой изменяется с течением времени кинетическая и потенциальная энергия?

Период колебаний энергии $T_E = 4$ с. Частота $\nu_E$ - это величина, обратная периоду: $\nu_E = \frac{1}{T_E} = \frac{1}{4 \text{ с}} = 0,25 \text{ Гц}$
Также можно найти частоту через циклическую частоту. Из формул $E_p(t) = \frac{E}{2}(1-\cos(2\omega t))$ и $E_k(t) = \frac{E}{2}(1+\cos(2\omega t))$ видно, что циклическая частота изменения энергии $\omega_E = 2\omega$. $\omega_E = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \frac{\text{рад}}{\text{с}}$
Тогда линейная частота $\nu_E$ равна: $\nu_E = \frac{\omega_E}{2\pi} = \frac{\pi/2}{2\pi} = \frac{1}{4} \text{ Гц} = 0,25 \text{ Гц}$

Ответ: Кинетическая и потенциальная энергия изменяются с частотой $\nu_E = 0,25 \text{ Гц}$.

Чему равна полная механическая энергия маятника?

Полная механическая энергия $E$ маятника является суммой его кинетической и потенциальной энергий и остается постоянной во времени (при отсутствии трения). $E = E_k(t) + E_p(t) = \frac{kA^2}{2}\cos^2(\omega t) + \frac{kA^2}{2}\sin^2(\omega t) = \frac{kA^2}{2}(\cos^2(\omega t) + \sin^2(\omega t)) = \frac{kA^2}{2}$
Значение полной энергии было рассчитано ранее: $E = \frac{\pi^2}{20000} \text{ Дж}$
$E \approx 0,0004935 \text{ Дж} \approx 0,49 \text{ мДж}$

Ответ: Полная механическая энергия маятника равна $E = \frac{\pi^2}{20000} \text{ Дж} \approx 0,49 \text{ мДж}$.