Номер 5, страница 166 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 5. Динамика периодического движения. Параграф 36. Динамика свободных колебаний. Вопросы - номер 5, страница 166.

Условие.

5. Как полная механическая энергия гармонических колебаний зависит от их амплитуды?

Решение.

5. Решение

Полная механическая энергия $E$ системы, совершающей гармонические колебания, является суммой ее кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергий:

$E = E_k + E_p$

В отсутствие сил трения (для идеальных гармонических колебаний) полная механическая энергия сохраняется во времени.

Пусть гармонические колебания описываются уравнением смещения от положения равновесия: $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $t$ — время, $\phi_0$ — начальная фаза.

Скорость колеблющегося тела $v$ является производной от координаты $x$ по времени:

$v(t) = x'(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi_0)$

Кинетическая энергия $E_k = \frac{1}{2}mv^2$, где $m$ — масса тела. Подставив выражение для скорости, получим:

$E_k = \frac{1}{2}m(-A\omega \sin(\omega t + \phi_0))^2 = \frac{1}{2}mA^2\omega^2\sin^2(\omega t + \phi_0)$

Потенциальная энергия $E_p$ для системы, совершающей гармонические колебания (например, для пружинного маятника), равна $E_p = \frac{1}{2}kx^2$, где $k$ — коэффициент жесткости. Подставив выражение для координаты, получим:

$E_p = \frac{1}{2}k(A \cos(\omega t + \phi_0))^2 = \frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t + \phi_0)$

Для гармонических колебаний циклическая частота связана с массой и жесткостью соотношением $\omega^2 = k/m$, откуда $k = m\omega^2$. Заменим $k$ в выражении для потенциальной энергии:

$E_p = \frac{1}{2}m\omega^2A^2\cos^2(\omega t + \phi_0)$

Теперь найдем полную механическую энергию, сложив $E_k$ и $E_p$:

$E = E_k + E_p = \frac{1}{2}mA^2\omega^2\sin^2(\omega t + \phi_0) + \frac{1}{2}m\omega^2A^2\cos^2(\omega t + \phi_0)$

Вынесем общий множитель за скобки:

$E = \frac{1}{2}mA^2\omega^2(\sin^2(\omega t + \phi_0) + \cos^2(\omega t + \phi_0))$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем окончательное выражение для полной энергии:

$E = \frac{1}{2}mA^2\omega^2$, или, используя $k = m\omega^2$, $E = \frac{1}{2}kA^2$

Из полученной формулы видно, что полная механическая энергия гармонических колебаний не зависит от времени (сохраняется), а зависит от параметров колебательной системы ($m$, $k$, $\omega$) и прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний ($A^2$).

$E \propto A^2$

Таким образом, если увеличить амплитуду колебаний в 2 раза, их полная механическая энергия увеличится в $2^2 = 4$ раза. Если увеличить амплитуду в 3 раза, энергия возрастет в $3^2=9$ раз.

Ответ: Полная механическая энергия гармонических колебаний прямо пропорциональна квадрату их амплитуды.