Номер 4, страница 160 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 35. Законы механики и движение небесных тел. 5. Динамика периодического движения. Механика - номер 4, страница 160.

Условие.

4. Чему равна первая космическая скорость на планете, масса и радиус которой в 2 раза больше, чем у Земли?

Решение.

Дано:

$M_П = 2 M_З$ (масса планеты в 2 раза больше массы Земли)

$R_П = 2 R_З$ (радиус планеты в 2 раза больше радиуса Земли)

$v_{1З} \approx 7.9 \text{ км/с}$ (первая космическая скорость для Земли)

Найти:

$v_{1П}$ — первая космическая скорость на планете.

Решение:

Первая космическая скорость (скорость движения по круговой орбите у поверхности небесного тела) определяется по формуле:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса небесного тела, $R$ — его радиус.

Для Земли формула имеет вид:

$v_{1З} = \sqrt{\frac{GM_З}{R_З}}$

Для рассматриваемой планеты формула будет выглядеть так:

$v_{1П} = \sqrt{\frac{GM_П}{R_П}}$

Подставим в эту формулу данные из условия задачи, то есть $M_П = 2M_З$ и $R_П = 2R_З$:

$v_{1П} = \sqrt{\frac{G(2M_З)}{2R_З}}$

Сократим число 2 в числителе и знаменателе подкоренного выражения:

$v_{1П} = \sqrt{\frac{GM_З}{R_З}}$

Как видно, полученное выражение для первой космической скорости планеты $v_{1П}$ полностью совпадает с выражением для первой космической скорости Земли $v_{1З}$.

$v_{1П} = v_{1З} \approx 7.9 \text{ км/с}$

Таким образом, первая космическая скорость на планете, масса и радиус которой в 2 раза больше, чем у Земли, будет такой же, как и на Земле.

Ответ: Первая космическая скорость на планете равна первой космической скорости на Земле, то есть примерно 7,9 км/с.