Номер 3, страница 160 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 35. Законы механики и движение небесных тел. 5. Динамика периодического движения. Механика - номер 3, страница 160.

Условие.

3. Вокруг звезды по круговым орбитам, радиусы которых $R_1$ и $R_2$, вращаются две планеты. Период обращения первой планеты $T_1$. Найдите период обращения второй планеты.

Решение.

Дано:

Радиус орбиты первой планеты: $R_1$

Радиус орбиты второй планеты: $R_2$

Период обращения первой планеты: $T_1$

Найти:

Период обращения второй планеты: $T_2$

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся третьим законом Кеплера. Этот закон связывает периоды обращения планет вокруг одного и того же центрального тела (звезды) с радиусами их орбит.

Выведем соотношение. При движении планеты по круговой орбите сила всемирного тяготения, действующая на нее со стороны звезды, сообщает планете центростремительное ускорение. Пусть $M$ — масса звезды, а $m$ — масса планеты.

Согласно второму закону Ньютона:

$F_{тяг} = m a_ц$

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения:

$F_{тяг} = G \frac{M m}{R^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $R$ — радиус орбиты.

Центростремительное ускорение $a_ц$ для движения по окружности со скоростью $v$ равно:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

Приравниваем выражения:

$G \frac{M m}{R^2} = m \frac{v^2}{R}$

Сократив массу планеты $m$ и радиус $R$, получим выражение для квадрата скорости:

$v^2 = \frac{G M}{R}$

Скорость движения по орбите можно выразить через период обращения $T$ и радиус орбиты $R$:

$v = \frac{2 \pi R}{T}$

Подставим это выражение для скорости в предыдущую формулу:

$\left(\frac{2 \pi R}{T}\right)^2 = \frac{G M}{R}$

$\frac{4 \pi^2 R^2}{T^2} = \frac{G M}{R}$

Выразим из этого соотношения $T^2$:

$T^2 = \frac{4 \pi^2 R^3}{G M}$

Отсюда следует третий закон Кеплера: отношение квадрата периода обращения к кубу радиуса орбиты есть величина постоянная для всех планет, вращающихся вокруг одной и той же звезды.

$\frac{T^2}{R^3} = \frac{4 \pi^2}{G M} = const$

Применим этот закон к двум планетам из условия задачи. Поскольку они вращаются вокруг одной и той же звезды, для них выполняется равенство:

$\frac{T_1^2}{R_1^3} = \frac{T_2^2}{R_2^3}$

Из этого равенства выразим искомый период обращения второй планеты $T_2$:

$T_2^2 = T_1^2 \cdot \frac{R_2^3}{R_1^3} = T_1^2 \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$T_2 = \sqrt{T_1^2 \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3} = T_1 \sqrt{\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3}$

Ответ: $T_2 = T_1 \sqrt{\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3}$