Номер 5, страница 160 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Вопросы. Параграф 35. Законы механики и движение небесных тел. 5. Динамика периодического движения. Механика - номер 5, страница 160.

Условие.

5. Солнце притягивает Луну сильнее, чем Земля. Почему в таком случае Луна – спутник Земли, а не самостоятельная планета?

Решение.

Вопрос основан на верном утверждении: сила гравитационного притяжения Луны к Солнцу действительно примерно в 2.2 раза больше, чем сила ее притяжения к Земле. Однако то, будет ли небесное тело спутником другого, определяется не абсолютной величиной силы притяжения к центральному телу (в данном случае к Солнцу), а тем, чье гравитационное поле доминирует в непосредственной близости от объекта, определяя его движение относительно другого тела.

Для начала, докажем, что Солнце притягивает Луну сильнее, чем Земля.

Дано:
Масса Солнца, $M_С \approx 1.989 \times 10^{30}$ кг
Масса Земли, $M_З \approx 5.972 \times 10^{24}$ кг
Масса Луны, $m_Л \approx 7.342 \times 10^{22}$ кг
Среднее расстояние от Земли до Луны, $R_{ЗЛ} \approx 3.844 \times 10^8$ м
Среднее расстояние от Солнца до Земли (и примерно до Луны), $R_{СЛ} \approx 1.496 \times 10^{11}$ м
Гравитационная постоянная, $G \approx 6.674 \times 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Найти:
Сравнить силу притяжения Луны к Солнцу ($F_{СЛ}$) и силу притяжения Луны к Земле ($F_{ЗЛ}$).

Решение:
Сила гравитационного притяжения вычисляется по закону всемирного тяготения:
$F = G \frac{m_1 m_2}{R^2}$
1. Найдем силу притяжения Луны к Земле ($F_{ЗЛ}$):
$F_{ЗЛ} = G \frac{M_З \cdot m_Л}{R_{ЗЛ}^2} = 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{5.972 \cdot 10^{24} \cdot 7.342 \cdot 10^{22}}{(3.844 \cdot 10^8)^2} \approx 1.98 \cdot 10^{20}$ Н.
2. Найдем силу притяжения Луны к Солнцу ($F_{СЛ}$):
$F_{СЛ} = G \frac{M_С \cdot m_Л}{R_{СЛ}^2} = 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{1.989 \cdot 10^{30} \cdot 7.342 \cdot 10^{22}}{(1.496 \cdot 10^{11})^2} \approx 4.35 \cdot 10^{20}$ Н.
3. Сравним эти силы:
$\frac{F_{СЛ}}{F_{ЗЛ}} = \frac{4.35 \cdot 10^{20}}{1.98 \cdot 10^{20}} \approx 2.2$
Таким образом, расчет подтверждает, что Солнце притягивает Луну более чем в два раза сильнее, чем Земля.

Почему же Луна — спутник Земли?

Ключ к пониманию кроется в том, что Солнце с почти одинаковой силой и в одном направлении притягивает и Землю, и Луну. Оба этих тела находятся в состоянии свободного падения на Солнце, то есть вращаются вокруг него. Гравитационное поле Солнца в основном определяет орбиту системы Земля-Луна как единого целого.

Луна является спутником Земли потому, что гравитационное притяжение Земли является доминирующей силой, которая определяет движение Луны относительно Земли. Сила притяжения Солнца создает огромное ускорение для всей системы Земля-Луна, заставляя ее двигаться по орбите. Но разница в ускорениях, сообщаемых Солнцем Земле и Луне, невелика. А вот ускорение, сообщаемое Луне Землей, значительно больше этой разницы. Именно это "земное" ускорение и удерживает Луну на орбите вокруг нашей планеты, не давая ей "улететь".

Более формально это описывается понятием сферы Хилла — области вокруг небесного тела, в которой его гравитационное притяжение доминирует над гравитационным возмущением (приливными силами) со стороны более массивного, но далекого тела. Радиус сферы Хилла для Земли в системе Солнце-Земля составляет примерно 1.5 миллиона километров. Луна вращается на расстоянии около 384 тысяч километров от Земли, то есть находится глубоко внутри сферы гравитационного влияния Земли. Поэтому, несмотря на мощное притяжение Солнца, Луна остается спутником Земли.

Ответ: Луна является спутником Земли, потому что она находится внутри гравитационной сферы влияния Земли (сферы Хилла). Это означает, что притяжение Земли является основной силой, определяющей движение Луны относительно Земли. Гравитационная сила Солнца, хотя и больше по абсолютной величине, действует почти одинаково и на Землю, и на Луну, увлекая их вместе по орбите вокруг себя, но не разрушая их гравитационную связь друг с другом.