Номер 1, страница 160 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 35. Законы механики и движение небесных тел. 5. Динамика периодического движения. Механика - номер 1, страница 160.

Условие.

1. Спутник вращается вокруг Земли на небольшой высоте. Определите период его обращения, если радиус Земли $R = 6400\text{ км}$.

Решение.

1. Дано:

Радиус Земли $R = 6400 \text{ км}$

Высота орбиты спутника $h \ll R$ (условие "на небольшой высоте")

Ускорение свободного падения у поверхности Земли (справочное значение) $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Переведём данные в систему СИ:

$R = 6400 \text{ км} = 6400 \times 10^3 \text{ м} = 6.4 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

Период обращения спутника $T$.

Решение:

Спутник, движущийся по круговой орбите вокруг Земли, удерживается на ней силой всемирного тяготения. Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу тяготения к произведению массы спутника на его центростремительное ускорение:

$F_{\text{тяготения}} = m a_{\text{ц}}$

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения, а центростремительное ускорение выражается через орбитальную скорость $v$ и радиус орбиты $r$:

$G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Здесь $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса спутника.

Из этого уравнения можно выразить орбитальную скорость спутника:

$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

В условии задачи сказано, что спутник вращается на небольшой высоте. Это означает, что высота орбиты $h$ над поверхностью Земли пренебрежимо мала по сравнению с радиусом Земли $R$. Таким образом, радиус орбиты $r = R + h$ можно считать приблизительно равным радиусу Земли: $r \approx R$.

Также мы знаем, что ускорение свободного падения у поверхности Земли определяется как $g = \frac{GM}{R^2}$. Отсюда можно выразить произведение $GM = gR^2$. Подставим это выражение и приближение $r \approx R$ в формулу для скорости:

$v \approx \sqrt{\frac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR}$

Эта скорость называется первой космической скоростью для планеты.

Период обращения $T$ — это время, за которое спутник совершает один полный оборот по орбите. Он равен отношению длины орбиты (длины окружности $2\pi r$) к скорости движения $v$:

$T = \frac{2\pi r}{v}$

Используя наши приближения ($r \approx R$ и $v = \sqrt{gR}$), получаем итоговую формулу для периода:

$T \approx \frac{2\pi R}{\sqrt{gR}} = 2\pi \sqrt{\frac{R^2}{gR}} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$

Теперь подставим числовые значения в системе СИ для вычисления периода:

$T \approx 2\pi \sqrt{\frac{6.4 \times 10^6 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} \approx 2 \times 3.14 \times \sqrt{653061 \text{ с}^2} \approx 6.28 \times 808.1 \text{ с} \approx 5075 \text{ с}$

Учитывая, что исходные данные ($R$ и $g$) имеют по две значащие цифры, результат следует округлить до двух значащих цифр:

$T \approx 5.1 \times 10^3 \text{ с}$

Для наглядности переведём это значение в минуты:

$T \approx \frac{5100 \text{ с}}{60 \text{ с/мин}} = 85 \text{ мин}$

Ответ: период обращения спутника составляет примерно $5.1 \times 10^3$ с, или 85 мин.