Номер 5, страница 160 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 5. Динамика периодического движения. Параграф 35. Законы механики и движение небесных тел. Задачи - номер 5, страница 160.

Условие.

5. Найдите вторую космическую скорость для планеты, имеющей радиус, равный радиусу Земли, и плотность, в 4 раза превышающую плотность Земли.

Решение.

Дано:

$R_п = R_З$ (радиус планеты равен радиусу Земли)

$\rho_п = 4 \rho_З$ (плотность планеты в 4 раза больше плотности Земли)

Справочное значение второй космической скорости для Земли: $v_{IIЗ} \approx 11.2 \text{ км/с}$.

Перевод в СИ для справочного значения:

$v_{IIЗ} \approx 11.2 \cdot 10^3 \text{ м/с}$

Найти:

$v_{IIп}$ — вторую космическую скорость для планеты.

Решение:

Вторая космическая скорость (или скорость убегания) для сферического небесного тела определяется по формуле:

$v_{II} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса небесного тела, $R$ — его радиус.

Массу планеты можно выразить через её среднюю плотность $\rho$ и объём $V$. Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Тогда масса планеты: $M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$.

Подставим это выражение для массы в формулу второй космической скорости:

$v_{II} = \sqrt{\frac{2G(\rho \frac{4}{3}\pi R^3)}{R}} = \sqrt{\frac{8}{3}\pi G \rho R^2} = R\sqrt{\frac{8}{3}\pi G \rho}$

Запишем это выражение для Земли и для рассматриваемой планеты.

Для Земли:

$v_{IIЗ} = R_З\sqrt{\frac{8}{3}\pi G \rho_З}$

Для планеты:

$v_{IIп} = R_п\sqrt{\frac{8}{3}\pi G \rho_п}$

Чтобы найти искомую скорость, составим отношение второй космической скорости планеты ко второй космической скорости Земли:

$\frac{v_{IIп}}{v_{IIЗ}} = \frac{R_п\sqrt{\frac{8}{3}\pi G \rho_п}}{R_З\sqrt{\frac{8}{3}\pi G \rho_З}} = \frac{R_п}{R_З} \cdot \sqrt{\frac{\rho_п}{\rho_З}}$

Теперь подставим в полученное соотношение условия из задачи: $R_п = R_З$ и $\rho_п = 4 \rho_З$.

$\frac{v_{IIп}}{v_{IIЗ}} = \frac{R_З}{R_З} \cdot \sqrt{\frac{4\rho_З}{\rho_З}} = 1 \cdot \sqrt{4} = 2$

Отсюда следует, что вторая космическая скорость для планеты в 2 раза больше, чем для Земли:

$v_{IIп} = 2 \cdot v_{IIЗ}$

Вычислим значение, используя справочные данные для Земли:

$v_{IIп} = 2 \cdot 11.2 \text{ км/с} = 22.4 \text{ км/с}$

Ответ: вторая космическая скорость для планеты равна 22.4 км/с.