Номер 1, страница 166 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 5. Динамика периодического движения. Параграф 36. Динамика свободных колебаний. Задачи - номер 1, страница 166.

Условие.

1. Во сколько раз отличается период колебаний двух пружинных маятников в невесомости? Массы маятников равны $\text{m}$ и $2m$, жёсткости пружин маятников одинаковы.

Решение.

Дано:

Масса первого маятника: $m_1 = m$

Масса второго маятника: $m_2 = 2m$

Жесткость пружин: $k_1 = k_2 = k$

Перевод в СИ не требуется, так как необходимо найти отношение величин.

Найти:

Отношение периодов колебаний: $\frac{T_2}{T_1}$

Решение:

Период колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $T$ — период колебаний, $m$ — масса груза, а $k$ — жёсткость пружины. Условие невесомости означает, что сила тяжести отсутствует, но она и не входит в формулу периода колебаний пружинного маятника, поэтому решение будет стандартным.

Запишем формулу для периода колебаний первого маятника:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k_1}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Запишем формулу для периода колебаний второго маятника:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k_2}} = 2\pi\sqrt{\frac{2m}{k}}$

Чтобы найти, во сколько раз отличаются периоды колебаний, найдем их отношение. Разделим период второго маятника на период первого:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{2m}{k}}}{2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}$

Сократим общие множители $2\pi$ и $\sqrt{k}$:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{\sqrt{2m}}{\sqrt{m}} = \sqrt{\frac{2m}{m}} = \sqrt{2}$

Таким образом, период колебаний маятника с большей массой больше в $\sqrt{2}$ раз.

Ответ: Периоды колебаний отличаются в $\sqrt{2}$ раз (приблизительно в 1,41 раза).