Номер 2, страница 160 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 35. Законы механики и движение небесных тел. 5. Динамика периодического движения. Механика - номер 2, страница 160.

Условие.

2. Чему равна плотность планеты, если период обращения вокруг неё спутника, движущегося на небольшой высоте, равен $\text{T}$?

Решение.

Дано:

$T$ - период обращения спутника вокруг планеты.
Спутник движется на небольшой высоте, то есть радиус орбиты спутника $r$ можно считать равным радиусу планеты $R$ ($r \approx R$).

Найти:

$\rho$ - плотность планеты.

Решение:

На спутник, движущийся по круговой орбите, действует сила всемирного тяготения со стороны планеты. Эта сила является центростремительной силой. Согласно второму закону Ньютона, мы можем записать:
$F_g = m a_c$
где $F_g$ - сила гравитационного притяжения, $m$ - масса спутника, $a_c$ - центростремительное ускорение.

Сила гравитационного притяжения определяется законом всемирного тяготения:
$F_g = G \frac{M m}{r^2}$
где $M$ - масса планеты, $G$ - гравитационная постоянная, $r$ - радиус орбиты спутника.

Центростремительное ускорение можно выразить через период обращения $T$:
$a_c = \omega^2 r = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Приравняем выражения для силы:
$G \frac{M m}{r^2} = m \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Сократим массу спутника $m$ и преобразуем уравнение:
$G M = \frac{4\pi^2 r^3}{T^2}$

Поскольку спутник движется на небольшой высоте, его радиус орбиты $r$ приблизительно равен радиусу планеты $R$ ($r \approx R$):
$G M \approx \frac{4\pi^2 R^3}{T^2}$

Масса планеты $M$ может быть выражена через её плотность $\rho$ и объём $V$. Принимая планету за шар, её объём равен $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Тогда масса:
$M = \rho V = \rho \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим выражение для массы $M$ в полученное ранее уравнение:
$G \left(\rho \frac{4}{3}\pi R^3\right) = \frac{4\pi^2 R^3}{T^2}$

Сократим общие множители ($4, \pi, R^3$) в обеих частях равенства:
$G \rho \frac{1}{3} = \frac{\pi}{T^2}$

Наконец, выразим плотность планеты $\rho$:
$\rho = \frac{3\pi}{G T^2}$

Ответ: плотность планеты равна $\rho = \frac{3\pi}{G T^2}$.