Номер 4, страница 169 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Вопросы. Параграф 37. Колебательная система под действием внешних сил, не зависящих от времени. 5. Динамика периодического движения. Механика - номер 4, страница 169.

Условие.

4. При каких условиях в колебательной системе возникает апериодическое движение?

Решение.

Апериодическое движение в колебательной системе возникает тогда, когда силы затухания (сопротивления) достаточно велики, чтобы полностью подавить колебания. В этом случае система, выведенная из положения равновесия, возвращается в него монотонно, не совершая колебаний вокруг этого положения.

Движение линейного осциллятора с затуханием описывается дифференциальным уравнением второго порядка:

$m \frac{d^2x}{dt^2} + r \frac{dx}{dt} + kx = 0$,

где $x$ — смещение от положения равновесия, $m$ — масса, $k$ — коэффициент жесткости, $r$ — коэффициент сопротивления среды.

Это уравнение можно представить в стандартной форме:

$\frac{d^2x}{dt^2} + 2\beta \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0$,

где $\beta = \frac{r}{2m}$ — коэффициент затухания, а $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ — собственная циклическая частота колебаний системы в отсутствие затухания.

Характер движения системы зависит от соотношения между коэффициентом затухания $\beta$ и собственной частотой $\omega_0$. Апериодическое движение (без колебаний) наблюдается в двух режимах:

Критическое затухание. Этот режим наступает при выполнении условия $\beta = \omega_0$. В этом случае система возвращается в положение равновесия за минимально возможное время без совершения колебаний. Это граничный режим между затухающими колебаниями и апериодическим движением.

Сильное затухание (апериодический режим). Этот режим возникает при условии $\beta > \omega_0$. Силы сопротивления настолько велики, что система возвращается в положение равновесия медленнее, чем при критическом затухании, но также без колебаний.

Таким образом, общее условие для возникновения апериодического движения в колебательной системе — это когда коэффициент затухания не меньше собственной частоты:

$\beta \ge \omega_0$

Если выразить это условие через исходные физические параметры системы ($m, k, r$), получим:

$\frac{r}{2m} \ge \sqrt{\frac{k}{m}}$

Возведя обе части неравенства в квадрат, приходим к окончательному условию:

$r^2 \ge 4km$

Ответ: Апериодическое движение в колебательной системе возникает, когда силы сопротивления достаточно велики. Математически это условие выражается как неравенство $\beta \ge \omega_0$, где $\beta$ – коэффициент затухания, а $\omega_0$ – собственная частота колебаний системы. Эквивалентное условие через параметры системы (коэффициент сопротивления $r$, масса $m$, коэффициент жесткости $k$) выглядит как $r^2 \ge 4km$. Это соответствует режимам критического ($\beta = \omega_0$) и сильного ($\beta > \omega_0$) затухания.