Номер 3, страница 170 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 5. Динамика периодического движения. Параграф 37. Колебательная система под действием внешних сил, не зависящих от времени. Задачи - номер 3, страница 170.

Условие.

3. Груз, подвешенный к пружине динамометра, совершает по вертикали гармонические колебания, период которых $T = 0,4$ с. Найдите растяжение пружины под действием этого груза в отсутствие колебаний.

Решение.

Дано:

Период гармонических колебаний $T = 0,4$ с.

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с².

Найти:

Растяжение пружины в состоянии покоя $\Delta x$.

Решение:

Период колебаний пружинного маятника (груза на пружине) определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $m$ – масса груза, а $k$ – жёсткость пружины.

В отсутствие колебаний, когда груз висит неподвижно, он находится в положении равновесия. В этом положении сила тяжести $F_т = mg$, действующая на груз, уравновешивается силой упругости пружины $F_{упр} = k\Delta x$:

$mg = k\Delta x$

где $\Delta x$ – искомое статическое растяжение пружины.

Из этого соотношения мы можем выразить отношение $\frac{m}{k}$:

$\frac{m}{k} = \frac{\Delta x}{g}$

Теперь подставим это выражение в формулу для периода колебаний:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta x}{g}}$

Для нахождения $\Delta x$, выразим его из этой формулы. Сначала возведём обе части уравнения в квадрат:

$T^2 = (2\pi)^2 \frac{\Delta x}{g} = 4\pi^2 \frac{\Delta x}{g}$

Отсюда выражаем $\Delta x$:

$\Delta x = \frac{gT^2}{4\pi^2}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу. Примем $g \approx 9,8$ м/с² и $\pi \approx 3,14$:

$\Delta x = \frac{9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot (0,4 \, \text{с})^2}{4 \cdot (3,14)^2} \approx \frac{9,8 \cdot 0,16}{4 \cdot 9,86} \approx \frac{1,568}{39,44} \approx 0,0397$ м.

Округлив результат, получаем, что растяжение пружины составляет примерно 0,04 м.

Ответ: Растяжение пружины составляет примерно 0,04 м (или 4 см).