Номер 5, страница 176 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 5. Динамика периодического движения. Параграф 38. Вынужденные колебания. Резонанс. Задачи - номер 5, страница 176.

Условие.

5. К горизонтально расположенному пружинному маятнику приложена постоянная сила $F_0$, вызывающая его статическое смещение от положения равновесия. После прекращения действия этой силы на маятник действует периодическая внешняя сила с амплитудой $F_0$. На сколько процентов отличается частота вынуждающей силы от частоты собственных колебаний маятника, если амплитуда вынужденных колебаний больше статического смещения в 10 раз?

Решение.

Дано:

К пружинному маятнику приложена сначала постоянная сила $F_0$, вызывающая статическое смещение $A_{ст}$.

Затем приложена периодическая сила с амплитудой $F_0$.

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний $A_{вын}$ в 10 раз больше статического смещения: $A_{вын} = 10 \cdot A_{ст}$.

Найти:

Процентное отличие частоты вынуждающей силы $\omega$ от частоты собственных колебаний маятника $\omega_0$: $\frac{|\omega - \omega_0|}{\omega_0} \cdot 100\%$

Решение:

1. Статическое смещение $A_{ст}$ пружинного маятника под действием постоянной силы $F_0$ определяется из условия равновесия, когда сила упругости пружины $F_{упр}$ уравновешивает внешнюю силу (закон Гука):

$F_0 = F_{упр} = k \cdot A_{ст}$

где $k$ – жесткость пружины. Отсюда статическое смещение равно:

$A_{ст} = \frac{F_0}{k}$

2. Амплитуда установившихся вынужденных колебаний $A_{вын}$ при действии периодической силы с амплитудой $F_0$ и круговой частотой $\omega$ (в предположении отсутствия затухания) определяется по формуле:

$A_{вын} = \frac{F_0/m}{|\omega_0^2 - \omega^2|}$

где $m$ – масса маятника, а $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ – собственная круговая частота колебаний маятника.

3. Выразим амплитуду вынужденных колебаний через статическое смещение. Для этого подставим $F_0 = k \cdot A_{ст}$ в формулу для $A_{вын}$:

$A_{вын} = \frac{(k \cdot A_{ст})/m}{|\omega_0^2 - \omega^2|} = \frac{(k/m) \cdot A_{ст}}{|\omega_0^2 - \omega^2|}$

Поскольку $k/m = \omega_0^2$, получаем:

$A_{вын} = \frac{\omega_0^2 \cdot A_{ст}}{|\omega_0^2 - \omega^2|}$

4. Используем условие задачи $A_{вын} = 10 \cdot A_{ст}$:

$10 \cdot A_{ст} = \frac{\omega_0^2 \cdot A_{ст}}{|\omega_0^2 - \omega^2|}$

Сократив на $A_{ст}$ (которое не равно нулю), получим:

$10 = \frac{\omega_0^2}{|\omega_0^2 - \omega^2|}$

Отсюда выразим модуль разности квадратов частот:

$|\omega_0^2 - \omega^2| = \frac{\omega_0^2}{10} = 0.1 \cdot \omega_0^2$

5. Раскрытие модуля приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: Частота вынуждающей силы меньше собственной частоты ($\omega < \omega_0$).

$\omega_0^2 - \omega^2 = 0.1 \cdot \omega_0^2$

$\omega^2 = \omega_0^2 - 0.1 \cdot \omega_0^2 = 0.9 \cdot \omega_0^2$

$\omega = \sqrt{0.9} \cdot \omega_0 \approx 0.9487 \cdot \omega_0$

Процентное отличие в этом случае равно:

$\frac{\omega_0 - \omega}{\omega_0} \cdot 100\% = (1 - \frac{\omega}{\omega_0}) \cdot 100\% = (1 - \sqrt{0.9}) \cdot 100\% \approx (1 - 0.9487) \cdot 100\% = 5.13\%$

Случай 2: Частота вынуждающей силы больше собственной частоты ($\omega > \omega_0$).

$\omega^2 - \omega_0^2 = 0.1 \cdot \omega_0^2$

$\omega^2 = \omega_0^2 + 0.1 \cdot \omega_0^2 = 1.1 \cdot \omega_0^2$

$\omega = \sqrt{1.1} \cdot \omega_0 \approx 1.0488 \cdot \omega_0$

Процентное отличие в этом случае равно:

$\frac{\omega - \omega_0}{\omega_0} \cdot 100\% = (\frac{\omega}{\omega_0} - 1) \cdot 100\% = (\sqrt{1.1} - 1) \cdot 100\% \approx (1.0488 - 1) \cdot 100\% = 4.88\%$

Ответ: Частота вынуждающей силы отличается от частоты собственных колебаний маятника на 5,13% (если она меньше собственной) или на 4,88% (если она больше собственной).