Номер 2, страница 196 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Творческие задания. Параграф 41. Центр тяжести (центр масс) системы материальных точек и твёрдого тела. 6. Статика. Механика - номер 2, страница 196.

Условие.

2. При каких условиях понятия «центр масс» и «центр тяжести» совпадают? При описании движения человека можно ли считать эти понятия синонимичными?

Решение.

При каких условиях понятия «центр масс» и «центр тяжести» совпадают?
Для начала определим оба понятия.
Центр масс (или центр инерции) – это геометрическая точка, характеризующая распределение массы в теле или системе частиц. Ее положение зависит исключительно от конфигурации масс и не зависит от внешних полей. Радиус-вектор центра масс ${\vec{r}_c}$ для системы из $n$ частиц определяется формулой:
${\vec{r_c} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r_i}}{\sum_{i=1}^{n} m_i}}$
где $m_i$ – масса $i$-й частицы, а ${\vec{r}_i}$ – её радиус-вектор.
Центр тяжести – это точка приложения равнодействующей всех сил тяжести, действующих на каждую частицу тела. Положение центра тяжести зависит от характеристик гравитационного поля, в котором находится тело.
Понятия «центр масс» и «центр тяжести» совпадают при выполнении одного ключевого условия: тело должно находиться в однородном гравитационном поле.
Однородным (или гомогенным) называется такое гравитационное поле, в каждой точке которого вектор ускорения свободного падения ${\vec{g}}$ одинаков как по величине, так и по направлению (${\vec{g} = \text{const}}$). В таком поле сила тяжести, действующая на любую часть тела массой $m_i$, равна ${\vec{F}_i = m_i \vec{g}}$ и направлена параллельно всем остальным силам тяжести. При этих условиях точка приложения равнодействующей силы тяжести совпадает с центром масс.
Если же поле неоднородно (например, для объектов, размеры которых сопоставимы с радиусом планеты), то вектор ${\vec{g}}$ будет разным для разных частей тела. В этом случае центр тяжести будет смещен относительно центра масс в сторону более сильного гравитационного поля.

Ответ: Понятия «центр масс» и «центр тяжести» совпадают только в том случае, если тело находится в однородном гравитационном поле, то есть когда вектор ускорения свободного падения ${\vec{g}}$ является постоянным для всех точек тела.

При описании движения человека можно ли считать эти понятия синонимичными?
Да, при описании движения человека на поверхности Земли или вблизи нее эти понятия можно считать синонимичными. Это связано с тем, что гравитационное поле Земли в пределах объема, занимаемого телом человека, можно с очень высокой степенью точности считать однородным.
Размеры человеческого тела (например, рост около 1.5-2 м) пренебрежимо малы по сравнению с радиусом Земли (около 6371 км). Из-за этого различия в величине и направлении вектора ускорения свободного падения ${\vec{g}}$ для разных частей тела (например, для головы и ног) оказываются ничтожно малыми. Силы тяжести, действующие на все части тела, можно считать практически параллельными друг другу и строго пропорциональными их массам.
Вследствие этого для биомеханического анализа движений человека, в спорте, медицине и других прикладных областях центр масс и центр тяжести человеческого тела считают совпадающими. Любое возможное расхождение между ними настолько мало, что им можно пренебречь.

Ответ: Да, при описании движения человека можно считать понятия «центр масс» и «центр тяжести» синонимичными, так как размеры человеческого тела пренебрежимо малы по сравнению с радиусом Земли, и гравитационное поле в пределах тела можно считать однородным.