Номер 1, страница 195 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 6. Статика. Параграф 41. Центр тяжести (центр масс) системы материальных точек и твёрдого тела. Задачи - номер 1, страница 195.

Условие.

1. Расстояние между атомами углерода и кислорода в молекуле угарного газа CO составляет $1,13 \cdot 10^{-10}$ м. На каком расстоянии от атома кислорода находится центр масс молекулы, если масса углерода 12 а. е. м., а кислорода — 16 а. е. м.?
(А. е. м. — атомная единица массы. 1 а. е. м. = $1,66 \cdot 10^{-27}$ кг (подробнее см. с. 223).)

Решение.

Дано:

$d = 1,13 \cdot 10^{-10}$ м

$m_{C} = 12$ а. е. м.

$m_{O} = 16$ а. е. м.

1 а. е. м. = $1,66 \cdot 10^{-27}$ кг

Перевод в систему СИ:

$m_{C} = 12 \text{ а. е. м.} = 12 \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ кг} = 1,992 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$

$m_{O} = 16 \text{ а. е. м.} = 16 \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ кг} = 2,656 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$

Найти:

$r_{O}$ — расстояние от атома кислорода до центра масс молекулы.

Решение:

Центр масс системы, состоящей из двух материальных точек, находится на прямой, соединяющей эти точки. Для нахождения его положения воспользуемся одномерной системой координат. Разместим начало координат (0) в центре атома кислорода. Тогда координата атома кислорода будет $r_1 = r_{O} = 0$. Координата атома углерода будет равна расстоянию между атомами: $r_2 = r_{C} = d = 1,13 \cdot 10^{-10}$ м.

Координата центра масс $r_{цм}$ для системы из двух тел вычисляется по формуле:

$r_{цм} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2}$

В нашем случае, искомое расстояние от атома кислорода до центра масс как раз и будет равно координате центра масс $r_{цм}$. Подставим наши значения в формулу:

$m_1 = m_O = 16$ а. е. м.

$m_2 = m_C = 12$ а. е. м.

$r_1 = 0$

$r_2 = d$

$r_{O} = r_{цм} = \frac{m_O \cdot 0 + m_C \cdot d}{m_O + m_C} = \frac{m_C d}{m_O + m_C}$

Для расчета не обязательно переводить массы в килограммы, так как в формуле используется отношение масс, и единицы измерения (а. е. м.) сократятся.

Выполним вычисления:

$r_{O} = \frac{12 \text{ а. е. м.} \cdot 1,13 \cdot 10^{-10} \text{ м}}{16 \text{ а. е. м.} + 12 \text{ а. е. м.}} = \frac{12 \cdot 1,13 \cdot 10^{-10}}{28} \text{ м}$

$r_{O} = \frac{13,56 \cdot 10^{-10}}{28} \text{ м} \approx 0,4842857 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

Округлим результат до трех значащих цифр, так как расстояние между атомами дано с такой же точностью:

$r_{O} \approx 0,484 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

Ответ: расстояние от атома кислорода до центра масс молекулы составляет $0,484 \cdot 10^{-10}$ м.