Номер 5, страница 190 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 6. Статика. Параграф 40. Условие равновесия для вращательного движения. Задачи - номер 5, страница 190.

Условие.

5. Четыре кирпича находятся в равновесии над столом, образуя как бы часть арки. Найдите предельные расстояния, на которые каждый следующий кирпич сверху может выступать на расположенном под ним (рис. 161).

Решение.

Дано:

Четыре одинаковых кирпича в состоянии равновесия.
Обозначим длину каждого кирпича как $L$, а массу как $m$.
Кирпичи однородные, их центр масс находится в геометрическом центре (на расстоянии $L/2$ от края).

Найти:

Предельные расстояния, на которые каждый следующий кирпич сверху может выступать над расположенным под ним: $x_1, x_2, x_3, x_4$.

Решение:

Для решения задачи будем использовать условие равновесия: чтобы система находилась в равновесии, ее общий центр масс должен находиться над точкой опоры. Предельное состояние равновесия достигается, когда центр масс системы находится точно над краем опоры. Будем рассматривать кирпичи, нумеруя их сверху вниз (№1 - самый верхний, №4 - самый нижний).

1. Выступ верхнего кирпича (№1) над вторым (№2).
Рассмотрим самый верхний кирпич (№1). Чтобы он не упал со второго кирпича (№2), его центр масс должен находиться над поверхностью второго кирпича. Максимальный выступ $x_1$ достигается, когда центр масс кирпича №1 находится точно над краем кирпича №2. Так как центр масс кирпича находится посередине его длины $L$, то максимальный выступ равен половине длины кирпича.
$x_1 = \frac{L}{2}$

Ответ: Предельное расстояние, на которое верхний кирпич может выступать над вторым, равно $L/2$.

2. Выступ второго кирпича (№2) над третьим (№3).
Теперь рассмотрим систему из двух верхних кирпичей (№1 и №2), которая опирается на третий кирпич (№3). Чтобы эта система находилась в равновесии, ее общий центр масс должен находиться над краем третьего кирпича. Найдем положение общего центра масс системы из двух кирпичей относительно края второго кирпича. Пусть начало координат (точка 0) находится на правом краю второго кирпича. Тогда центр масс кирпича №2 находится в точке $x_{цм2} = -L/2$. Центр масс кирпича №1 находится в точке $x_{цм1} = x_1 - L/2 = L/2 - L/2 = 0$.
Положение общего центра масс системы из двух кирпичей относительно правого края кирпича №3, который является новой точкой опоры, обозначим как $x_2$. Для предельного равновесия общий центр масс системы из кирпичей №1 и №2 должен быть на краю кирпича №3.
Возьмем за точку отсчета край кирпича №3. Координата центра масс кирпича №2 будет $x_2 - L/2$. Координата центра масс кирпича №1 будет $x_2 + x_1 - L/2 = x_2 + L/2 - L/2 = x_2$.
Условие равновесия (сумма моментов масс равна нулю):
$m \cdot (x_2 - L/2) + m \cdot x_2 = 0$
$2mx_2 = m(L/2)$
$x_2 = \frac{L}{4}$

Ответ: Предельное расстояние, на которое второй кирпич может выступать над третьим, равно $L/4$.

3. Выступ третьего кирпича (№3) над четвертым (№4).
Рассмотрим систему из трех верхних кирпичей (№1, №2, №3), опирающуюся на четвертый кирпич (№4). Масса этой системы равна $3m$. Ее центр масс в предельном случае должен находиться над краем четвертого кирпича. Центр масс системы из двух верхних кирпичей (№1 и №2), как мы выяснили, находится над краем кирпича №3.
Возьмем за точку отсчета край кирпича №4. Центр масс системы из кирпичей №1 и №2 (массой $2m$) будет иметь координату $x_3$. Центр масс кирпича №3 (массой $m$) будет иметь координату $x_3 - L/2$.
Условие равновесия:
$2m \cdot x_3 + m \cdot (x_3 - L/2) = 0$
$3mx_3 = m(L/2)$
$x_3 = \frac{L}{6}$

Ответ: Предельное расстояние, на которое третий кирпич может выступать над четвертым, равно $L/6$.

4. Выступ четвертого кирпича (№4) над столом.
Рассмотрим систему из всех четырех кирпичей, опирающуюся на стол. Масса системы $4m$. Ее общий центр масс должен находиться над краем стола. Центр масс системы из трех верхних кирпичей (№1, №2, №3) находится над краем четвертого кирпича.
Возьмем за точку отсчета край стола. Центр масс системы из кирпичей №1, №2 и №3 (массой $3m$) будет иметь координату $x_4$. Центр масс кирпича №4 (массой $m$) будет иметь координату $x_4 - L/2$.
Условие равновесия:
$3m \cdot x_4 + m \cdot (x_4 - L/2) = 0$
$4mx_4 = m(L/2)$
$x_4 = \frac{L}{8}$

Ответ: Предельное расстояние, на которое четвертый кирпич может выступать над столом, равно $L/8$.