Номер 4, страница 195 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Вопросы. Параграф 41. Центр тяжести (центр масс) системы материальных точек и твёрдого тела. 6. Статика. Механика - номер 4, страница 195.

Условие.

4. По каким формулам рассчитываются координаты центра масс системы материальных точек?

Решение.

Координаты центра масс системы, состоящей из материальных точек, определяются как средневзвешенные значения координат этих точек, где в качестве весов выступают их массы.

В общем виде положение центра масс задается радиус-вектором $\vec{r}_c$:

$\vec{r}_c = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r}_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}$

где $m_i$ – масса $i$-й точки, а $\vec{r}_i$ – её радиус-вектор.

В проекциях на оси декартовой системы координат $(X, Y, Z)$ это векторное уравнение дает три скалярные формулы. Если система состоит из $n$ точек с массами $m_1, m_2, ..., m_n$ и координатами $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), ..., (x_n, y_n, z_n)$, то координаты центра масс $(x_c, y_c, z_c)$ вычисляются следующим образом:

$x_c = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + ... + m_nx_n}{m_1 + m_2 + ... + m_n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}$

$y_c = \frac{m_1y_1 + m_2y_2 + ... + m_ny_n}{m_1 + m_2 + ... + m_n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i y_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}$

$z_c = \frac{m_1z_1 + m_2z_2 + ... + m_nz_n}{m_1 + m_2 + ... + m_n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i z_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}$

Знаменатель в каждой формуле представляет собой полную массу системы $M = \sum_{i=1}^{n} m_i$.

Ответ: Координаты центра масс системы материальных точек $(x_c, y_c, z_c)$ рассчитываются по формулам:
$x_c = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}$
$y_c = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i y_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}$
$z_c = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i z_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}$
где $m_i$ и $(x_i, y_i, z_i)$ – соответственно масса и координаты $i$-й материальной точки.