Номер 3, страница 195 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 6. Статика. Параграф 41. Центр тяжести (центр масс) системы материальных точек и твёрдого тела. Задачи - номер 3, страница 195.

Условие.

3. Найдите координаты центра масс тонкой однородной пластинки (рис. 167).

Решение.

Дано:

Тонкая однородная пластинка L-образной формы. Размеры заданы в сантиметрах по графику. Для решения разобьем пластинку на два прямоугольника: нижний (1) и правый (2).

Прямоугольник 1:

$l_1 = 20 \text{ см}$
$h_1 = 10 \text{ см}$

Прямоугольник 2:

$l_2 = 30 \text{ см} - 20 \text{ см} = 10 \text{ см}$
$h_2 = 30 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

Прямоугольник 1:

$l_1 = 0.2 \text{ м}$
$h_1 = 0.1 \text{ м}$

Прямоугольник 2:

$l_2 = 0.1 \text{ м}$
$h_2 = 0.3 \text{ м}$

Найти:

Координаты центра масс пластинки $(x_c, y_c)$.

Решение:

Для нахождения центра масс сложной фигуры можно разбить ее на более простые фигуры, найти центр масс каждой из них, а затем найти общий центр масс, рассматривая простые фигуры как материальные точки, расположенные в их центрах масс. Масса каждой такой точки будет пропорциональна площади соответствующей фигуры.

Разобьем L-образную пластинку на два прямоугольника, как указано в разделе "Дано":

1. Нижний прямоугольник (индекс 1) с размерами $20 \times 10$ см.

2. Правый прямоугольник (индекс 2) с размерами $10 \times 30$ см.

Поскольку пластинка однородная, ее поверхностная плотность $\sigma$ постоянна. Масса каждой части пропорциональна ее площади: $m = \sigma \cdot A$.

1. Характеристики первого прямоугольника:

Площадь: $A_1 = l_1 \cdot h_1 = 20 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 200 \text{ см}^2$.

Масса: $m_1 = \sigma A_1 = 200\sigma$.

Центр масс прямоугольника находится в его геометрическом центре. Координаты центра масс первого прямоугольника $(x_1, y_1)$:

$x_1 = \frac{0 + 20}{2} = 10 \text{ см}$.

$y_1 = \frac{0 + 10}{2} = 5 \text{ см}$.

2. Характеристики второго прямоугольника:

Площадь: $A_2 = l_2 \cdot h_2 = 10 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} = 300 \text{ см}^2$.

Масса: $m_2 = \sigma A_2 = 300\sigma$.

Координаты центра масс второго прямоугольника $(x_2, y_2)$:

$x_2 = 20 + \frac{30 - 20}{2} = 20 + 5 = 25 \text{ см}$.

$y_2 = \frac{0 + 30}{2} = 15 \text{ см}$.

3. Координаты центра масс всей пластинки:

Координаты центра масс системы $(x_c, y_c)$ вычисляются по формулам:

$x_c = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$

$y_c = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2}$

Подставим значения для координаты $x_c$:

$x_c = \frac{(200\sigma) \cdot 10 + (300\sigma) \cdot 25}{200\sigma + 300\sigma} = \frac{\sigma(2000 + 7500)}{\sigma(200 + 300)} = \frac{9500}{500} = 19 \text{ см}$.

Подставим значения для координаты $y_c$:

$y_c = \frac{(200\sigma) \cdot 5 + (300\sigma) \cdot 15}{200\sigma + 300\sigma} = \frac{\sigma(1000 + 4500)}{\sigma(200 + 300)} = \frac{5500}{500} = 11 \text{ см}$.

Таким образом, координаты центра масс пластинки: $(19; 11)$ см.

В системе СИ: $(0.19; 0.11)$ м.

Ответ: Координаты центра масс тонкой однородной пластинки равны $x_c = 19 \text{ см}$, $y_c = 11 \text{ см}$.