Номер 4, страница 195 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 6. Статика. Параграф 41. Центр тяжести (центр масс) системы материальных точек и твёрдого тела. Задачи - номер 4, страница 195.

Условие.

4. Найдите положение центра масс трёх планет массами $\text{m}$, $2m$, $3m$, находящихся в вершинах равностороннего треугольника со стороной $\text{l}$ (рис. 168).

Решение.

Дано:

$m_1 = m$
$m_2 = 2m$
$m_3 = 3m$
Массы расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной $l$.
Система координат выбрана так, что масса $m_1$ находится в начале координат $(0, 0)$, а масса $m_2$ — на оси X.

Найти:

Координаты центра масс системы $(x_c; y_c)$.

Решение:

Координаты центра масс системы материальных точек определяются по формулам:

$x_c = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3}$

$y_c = \frac{\sum m_i y_i}{\sum m_i} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3}$

Определим координаты каждой массы в выбранной системе координат:

1. Масса $m_1 = m$ находится в начале координат: $x_1 = 0$, $y_1 = 0$.

2. Масса $m_2 = 2m$ находится на оси X на расстоянии $l$ от начала координат: $x_2 = l$, $y_2 = 0$.

3. Масса $m_3 = 3m$ находится в третьей вершине равностороннего треугольника. Ее x-координата является основанием высоты, опущенной на ось X, и равна $x_3 = \frac{l}{2}$. Y-координата равна высоте равностороннего треугольника $h$:

$h = \sqrt{l^2 - (l/2)^2} = \sqrt{l^2 - \frac{l^2}{4}} = \sqrt{\frac{3l^2}{4}} = \frac{l\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, координаты третьей массы: $x_3 = \frac{l}{2}$, $y_3 = \frac{l\sqrt{3}}{2}$.

Полная масса системы:

$M = m_1 + m_2 + m_3 = m + 2m + 3m = 6m$.

Теперь подставим значения в формулы для координат центра масс.

Для координаты $x_c$:

$x_c = \frac{m \cdot 0 + 2m \cdot l + 3m \cdot \frac{l}{2}}{6m} = \frac{2ml + \frac{3}{2}ml}{6m} = \frac{\frac{7}{2}ml}{6m} = \frac{7l}{12}$.

Для координаты $y_c$:

$y_c = \frac{m \cdot 0 + 2m \cdot 0 + 3m \cdot \frac{l\sqrt{3}}{2}}{6m} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}ml}{6m} = \frac{3\sqrt{3}l}{12} = \frac{\sqrt{3}l}{4}$.

Ответ: Координаты центра масс системы: $x_c = \frac{7}{12}l$, $y_c = \frac{\sqrt{3}}{4}l$.