Номер 3, страница 195 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Вопросы. Параграф 41. Центр тяжести (центр масс) системы материальных точек и твёрдого тела. 6. Статика. Механика - номер 3, страница 195.

Условие.

3. Дайте определение центра масс системы тел.

Решение.

3. Центр масс (также называемый центром инерции) системы тел — это воображаемая точка, которая характеризует распределение массы в системе. Движение этой точки описывает движение системы как единого целого.

Основное свойство центра масс заключается в том, что он движется так, как двигалась бы материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы ($ M $), и на которую действует сумма всех внешних сил ($ \vec{F}_{внеш} $), приложенных к системе. Это описывается вторым законом Ньютона для системы в целом: $ M\vec{a}_c = \sum \vec{F}_{внеш} $, где $ \vec{a}_c $ — ускорение центра масс.

Математически положение центра масс определяется радиус-вектором $ \vec{r}_c $, который вычисляется как средневзвешенное значение радиус-векторов всех частей системы, где в качестве "веса" выступает масса каждой части.

Для дискретной системы, состоящей из $ n $ материальных точек с массами $ m_i $ и радиус-векторами $ \vec{r}_i $, формула имеет вид:

$ \vec{r}_c = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + \dots + m_n\vec{r}_n}{m_1 + m_2 + \dots + m_n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r}_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i} $

Для сплошного тела с непрерывным распределением массы суммирование заменяется интегрированием по всему объему $ V $ тела:

$ \vec{r}_c = \frac{1}{M} \int_V \vec{r} \rho(\vec{r}) \,dV $

где $ M $ — полная масса тела, а $ \rho(\vec{r}) $ — его плотность в точке с радиус-вектором $ \vec{r} $.

Ответ: Центр масс системы тел — это точка, положение которой характеризует распределение массы в системе. Эта точка движется так, как если бы в ней была сосредоточена вся масса системы и к ней были приложены все внешние силы, действующие на систему. Его радиус-вектор $ \vec{r}_c $ определяется формулой $ \vec{r}_c = \frac{1}{M} \sum m_i \vec{r}_i $ для дискретной системы или $ \vec{r}_c = \frac{1}{M} \int \vec{r} \,dm $ для непрерывной.