Номер 4, страница 190 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 6. Статика. Параграф 40. Условие равновесия для вращательного движения. Задачи - номер 4, страница 190.

Условие.

4. Однородная лестница прислонена к стене. При каком минимальном угле $\alpha$ с поверхностью пола она начнёт скользить (рис. 160)? Коэффициенты трения покоя лестницы о пол $\mu_1 = 0,5$, о стенку $\mu_2 = 0,4$.

Решение.

Дано:

Коэффициент трения покоя лестницы о пол $\mu_1 = 0.5$

Коэффициент трения покоя лестницы о стену $\mu_2 = 0.4$

Найти:

Минимальный угол $\alpha$

Решение:

Рассмотрим условия равновесия однородной лестницы в момент, когда она готова начать скользить. Пусть $l$ - длина лестницы, $m$ - ее масса. На лестницу действуют следующие силы: сила тяжести $mg$, приложенная к середине лестницы; силы нормальной реакции опоры со стороны пола $N_1$ и стены $N_2$; силы трения покоя со стороны пола $F_{тр1}$ и стены $F_{тр2}$.

Поскольку лестница находится на грани соскальзывания, силы трения покоя достигают своих максимальных значений:

$F_{тр1} = \mu_1 N_1$

$F_{тр2} = \mu_2 N_2$

Сила трения $F_{тр1}$ направлена горизонтально к стене, а сила $F_{тр2}$ - вертикально вверх, так как они препятствуют движению.

Запишем первое условие равновесия (сумма всех сил равна нулю) в проекциях на горизонтальную (ось X) и вертикальную (ось Y) оси:

Ось X: $N_2 - F_{тр1} = 0 \implies N_2 = \mu_1 N_1$ (1)

Ось Y: $N_1 + F_{тр2} - mg = 0 \implies N_1 + \mu_2 N_2 = mg$ (2)

Запишем второе условие равновесия (сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю). Удобно выбрать точку опоры в месте контакта лестницы с полом. Тогда моменты сил $N_1$ и $F_{тр1}$ будут равны нулю.

Уравнение моментов сил относительно точки контакта с полом (моменты, вращающие против часовой стрелки, считаем положительными):

$M(N_2) + M(F_{тр2}) + M(mg) = 0$

$N_2 \cdot (l \sin\alpha) + F_{тр2} \cdot (l \cos\alpha) - mg \cdot (\frac{l}{2} \cos\alpha) = 0$

Подставим $F_{тр2} = \mu_2 N_2$ и сократим на $l$:

$N_2 \sin\alpha + \mu_2 N_2 \cos\alpha - \frac{mg}{2} \cos\alpha = 0$

$N_2(\sin\alpha + \mu_2 \cos\alpha) = \frac{mg}{2} \cos\alpha$ (3)

Теперь решим систему уравнений (1), (2) и (3) для нахождения угла $\alpha$.

Из уравнений (1) и (2) выразим $N_2$. Подставим $N_1$ из (1) в (2):

$\frac{N_2}{\mu_1} + \mu_2 N_2 = mg \implies N_2(\frac{1}{\mu_1} + \mu_2) = mg \implies N_2 = \frac{\mu_1 mg}{1 + \mu_1 \mu_2}$

Подставим полученное выражение для $N_2$ в уравнение моментов (3):

$\frac{\mu_1 mg}{1 + \mu_1 \mu_2} (\sin\alpha + \mu_2 \cos\alpha) = \frac{mg}{2} \cos\alpha$

Сократим обе части на $mg$:

$\frac{\mu_1}{1 + \mu_1 \mu_2} (\sin\alpha + \mu_2 \cos\alpha) = \frac{1}{2}\cos\alpha$

Разделим обе части на $\cos\alpha$ (при $\alpha < 90^\circ$ это возможно):

$\frac{\mu_1}{1 + \mu_1 \mu_2} (\tan\alpha + \mu_2) = \frac{1}{2}$

Выразим $\tan\alpha$:

$\tan\alpha + \mu_2 = \frac{1 + \mu_1 \mu_2}{2\mu_1}$

$\tan\alpha = \frac{1 + \mu_1 \mu_2}{2\mu_1} - \mu_2 = \frac{1 + \mu_1 \mu_2 - 2\mu_1 \mu_2}{2\mu_1}$

$\tan\alpha = \frac{1 - \mu_1 \mu_2}{2\mu_1}$

Подставим заданные значения коэффициентов трения:

$\tan\alpha = \frac{1 - 0.5 \cdot 0.4}{2 \cdot 0.5} = \frac{1 - 0.2}{1} = 0.8$

Отсюда находим минимальный угол $\alpha$:

$\alpha = \arctan(0.8) \approx 38.7^\circ$

Ответ: Минимальный угол, при котором лестница начнет скользить, $\alpha = \arctan(0.8) \approx 38.7^\circ$.