Номер 2, страница 195 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Механика. 6. Статика. Параграф 41. Центр тяжести (центр масс) системы материальных точек и твёрдого тела. Задачи - номер 2, страница 195.

Условие.

2. Пять шаров расположены на одинаковом расстоянии друг от друга (рис. 166). Найдите положение центра масс данной системы тел.

Решение.

Дано:
Количество шаров, $n = 5$.
Масса каждого шара одинакова: $m_1 = m_2 = m_3 = m_4 = m_5 = m$.
Шары расположены на одной прямой.
Расстояние между соседними шарами одинаково и равно $L$.

Найти:
Положение центра масс системы, $x_{цм}$.

Решение:

Поскольку в условии не указана фигура и не дано иное, будем считать, что шары одинаковы (имеют одинаковую массу $m$) и расположены в линию на одинаковом расстоянии $L$ друг от друга. Это наиболее распространенная интерпретация для подобных задач. Для нахождения центра масс системы материальных точек воспользуемся координатным методом.

Расположим систему шаров вдоль оси Ox. Поместим начало координат (точка O) в центр первого шара. Тогда координаты центров шаров будут следующими:
$x_1 = 0$
$x_2 = L$
$x_3 = 2L$
$x_4 = 3L$
$x_5 = 4L$

Координата центра масс системы ($x_{цм}$) для набора материальных точек определяется по формуле:

$x_{цм} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}$

Подставим наши значения в формулу. Так как все массы одинаковы ($m_i = m$), получаем:

$x_{цм} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3 + m_4 x_4 + m_5 x_5}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4 + m_5} = \frac{m \cdot 0 + m \cdot L + m \cdot 2L + m \cdot 3L + m \cdot 4L}{m + m + m + m + m}$

Вынесем массу $m$ за скобки в числителе и знаменателе:

$x_{цм} = \frac{m(0 + L + 2L + 3L + 4L)}{5m}$

Сократим массу $m$:

$x_{цм} = \frac{10L}{5} = 2L$

Полученная координата $x_{цм} = 2L$ соответствует положению центра третьего (среднего) шара в выбранной нами системе отсчета.

Этот же результат можно получить из соображений симметрии. Система из пяти одинаковых шаров, расположенных на одной прямой на равных расстояниях, является симметричной относительно центрального (третьего) шара. В таких симметричных системах центр масс всегда совпадает с центром симметрии.

Ответ: Центр масс данной системы тел находится в центре среднего (третьего) шара.