Номер 2, страница 256 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Параграф 52. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Задачи - номер 2, страница 256.

Условие.

2. Идеальный газ оказывает на стенки сосуда давление $1,01 \cdot 10^5$ Па. Тепловая скорость молекул 500 м/с. Найдите плотность газа.

Решение.

Дано:

Давление идеального газа, $p = 1,01 \cdot 10^5$ Па

Тепловая (среднеквадратичная) скорость молекул, $v_{ск} = 500$ м/с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Плотность газа, $\rho$ - ?

Решение:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) для идеального газа связывает давление, которое газ оказывает на стенки сосуда, с микроскопическими параметрами газа:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$

где $p$ – давление газа, $n$ – концентрация молекул (число молекул в единице объема), $m_0$ – масса одной молекулы, а $\langle v^2 \rangle$ – средний квадрат скорости хаотического движения молекул.

Тепловая скорость, данная в условии задачи, является среднеквадратичной скоростью $v_{ск}$. Она связана со средним квадратом скорости следующим соотношением:

$v_{ск} = \sqrt{\langle v^2 \rangle}$, откуда следует, что $\langle v^2 \rangle = v_{ск}^2$.

Подставим это в основное уравнение МКТ:

$p = \frac{1}{3} n m_0 v_{ск}^2$

Плотность газа $\rho$ по определению равна произведению концентрации молекул $n$ на массу одной молекулы $m_0$:

$\rho = n \cdot m_0$

Теперь мы можем заменить произведение $n m_0$ в уравнении для давления на плотность $\rho$:

$p = \frac{1}{3} \rho v_{ск}^2$

Из этого соотношения выразим искомую плотность газа $\rho$:

$\rho = \frac{3p}{v_{ск}^2}$

Подставим числовые значения из условия задачи и произведем вычисления:

$\rho = \frac{3 \cdot 1,01 \cdot 10^5 \text{ Па}}{(500 \text{ м/с})^2} = \frac{3,03 \cdot 10^5}{250000} = \frac{3,03 \cdot 10^5}{2,5 \cdot 10^5} = 1,212 \text{ кг/м}^3$

Ответ: плотность газа составляет $1,212$ кг/м$^3$.