Номер 2, страница 275 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 10. Термодинамика. Параграф 56. Работа газа при изопроцессах. Задачи - номер 2, страница 275.

Условие.

2. Кислород массой $m = 50$ г имеет температуру $T_1 = 320$ К. В результате изохорного охлаждения давление кислорода уменьшилось вдвое, а затем после изобарного расширения температура газа в конечном состоянии стала равна первоначальной. Изобразите на $p-V$-диаграмме эти процессы. Покажите графически работу, совершённую газом, и рассчитайте её. Найдите результирующее изменение внутренней энергии.

Решение.

Дано:

m = 50 г

T₁ = 320 К

Газ - кислород (O₂)

Процесс 1-2 (изохорное охлаждение): $V_1 = V_2$, $p_2 = p_1 / 2$

Процесс 2-3 (изобарное расширение): $p_2 = p_3$, $T_3 = T_1$

M(O₂) = 32 г/моль

R ≈ 8.31 Дж/(моль·К)

Система СИ:

m = 0.05 кг

M(O₂) = 0.032 кг/моль

Найти:

p-V диаграмму

Работу газа A

Результирующее изменение внутренней энергии ΔU

Решение:

Для решения задачи сначала определим параметры газа в каждом из трех состояний (1, 2, 3).

Состояние 1: параметры ($p_1, V_1, T_1$). Известно, что $T_1 = 320 \text{ К}$.

Процесс 1-2 является изохорным ($V = \text{const}$), следовательно, $V_1 = V_2$. Для этого процесса применим закон Шарля:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

По условию давление уменьшилось вдвое, то есть $p_2 = p_1 / 2$. Найдем температуру в состоянии 2:

$T_2 = T_1 \cdot \frac{p_2}{p_1} = T_1 \cdot \frac{p_1/2}{p_1} = \frac{T_1}{2} = \frac{320 \text{ К}}{2} = 160 \text{ К}$.

Состояние 2: параметры ($p_2 = p_1/2, V_2=V_1, T_2=160 \text{ К}$).

Процесс 2-3 является изобарным ($p = \text{const}$), следовательно, $p_2 = p_3$. Для этого процесса применим закон Гей-Люссака:

$\frac{V_2}{T_2} = \frac{V_3}{T_3}$

По условию конечная температура стала равна первоначальной: $T_3 = T_1 = 320 \text{ К}$. Найдем объем в состоянии 3:

$V_3 = V_2 \cdot \frac{T_3}{T_2} = V_1 \cdot \frac{T_1}{T_1/2} = 2V_1$.

Состояние 3: параметры ($p_3 = p_1/2, V_3=2V_1, T_3=320 \text{ К}$).

Изобразите на p—V-диаграмме эти процессы. Покажите графически работу, совершённую газом, и рассчитайте её.

На p-V диаграмме, где по оси ординат откладывается давление p, а по оси абсцисс — объем V, данные процессы изображаются следующим образом:

1. Процесс 1-2 (изохорное охлаждение) — это вертикальный отрезок, идущий вниз от точки 1 ($p_1, V_1$) до точки 2 ($p_1/2, V_1$).

2. Процесс 2-3 (изобарное расширение) — это горизонтальный отрезок, идущий вправо от точки 2 ($p_1/2, V_1$) до точки 3 ($p_1/2, 2V_1$).

Работа, совершённая газом, $A$ равна сумме работ на каждом участке: $A = A_{1-2} + A_{2-3}$.

На изохорном участке 1-2 объем не меняется ($\Delta V = 0$), поэтому работа газа равна нулю: $A_{1-2} = 0$.

На изобарном участке 2-3 работа газа вычисляется по формуле $A_{2-3} = p_2(V_3 - V_2)$. Графически эта работа равна площади прямоугольника под отрезком 2-3.

Таким образом, общая работа $A = A_{2-3}$. Для расчета работы воспользуемся уравнением состояния идеального газа, из которого следует, что $p\Delta V = \nu R \Delta T$ для изобарного процесса. Здесь $\nu = \frac{m}{M}$ — количество вещества.

Вычислим количество вещества кислорода:

$\nu = \frac{m}{M} = \frac{0.05 \text{ кг}}{0.032 \text{ кг/моль}} = 1.5625 \text{ моль}$.

Теперь рассчитаем работу:

$A = A_{2-3} = \nu R (T_3 - T_2) = 1.5625 \text{ моль} \cdot 8.31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot (320 \text{ К} - 160 \text{ К}) = 1.5625 \cdot 8.31 \cdot 160 \text{ Дж} \approx 2077.5 \text{ Дж}$.

Ответ: работа, совершённая газом, равна $A \approx 2078$ Дж. Графически она представляет собой площадь под участком 2-3 на p-V диаграмме.

Найдите результирующее изменение внутренней энергии.

Изменение внутренней энергии идеального газа $\Delta U$ зависит только от изменения его температуры. Результирующее изменение — это разница между конечной и начальной внутренней энергией: $\Delta U = U_{3} - U_{1}$.

Начальное состояние газа — точка 1, его температура $T_1 = 320 \text{ К}$.

Конечное состояние газа — точка 3, его температура $T_3 = 320 \text{ К}$.

Так как начальная и конечная температуры газа равны ($T_1 = T_3$), то его начальная и конечная внутренние энергии также равны ($U_1 = U_3$).

Следовательно, результирующее изменение внутренней энергии за весь процесс (1→2→3) равно нулю.

$\Delta U_{1-3} = U_3 - U_1 = 0$.

Этот результат можно проверить, сложив изменения внутренней энергии на каждом участке. Для кислорода (двухатомный газ) число степеней свободы $i=5$.

$\Delta U_{1-2} = \frac{i}{2} \nu R (T_2 - T_1) = \frac{5}{2} \cdot 1.5625 \cdot 8.31 \cdot (160 - 320) \approx -5194 \text{ Дж}$.

$\Delta U_{2-3} = \frac{i}{2} \nu R (T_3 - T_2) = \frac{5}{2} \cdot 1.5625 \cdot 8.31 \cdot (320 - 160) \approx 5194 \text{ Дж}$.

$\Delta U_{1-3} = \Delta U_{1-2} + \Delta U_{2-3} \approx -5194 \text{ Дж} + 5194 \text{ Дж} = 0 \text{ Дж}$.

Ответ: результирующее изменение внутренней энергии равно 0 Дж.