Номер 5, страница 273 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 10. Термодинамика. Параграф 55. Внутренняя энергия. Задачи - номер 5, страница 273.

Условие.

5. При стыковке двух космических кораблей их отсеки соединяются между собой. Объём первого отсека $V_1 = 12 \, \text{м}^3$, второго — $V_2 = 20 \, \text{м}^3$. Давление и температура воздуха в отсеках равны $p_1 = 0,98 \cdot 10^5 \, \text{Па}$, $p_2 = 1,02 \cdot 10^5 \, \text{Па}$, $t_1 = 17 \, \text{°C}$, $t_2 = 27 \, \text{°C}$. Какое давление воздуха установится в объединённом модуле? Какой будет температура воздуха в нём?

Решение.

Дано:

Объём первого отсека: $V_1 = 12 \text{ м}^3$

Объём второго отсека: $V_2 = 20 \text{ м}^3$

Давление в первом отсеке: $p_1 = 0.98 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Давление во втором отсеке: $p_2 = 1.02 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Температура в первом отсеке: $t_1 = 17°C$

Температура во втором отсеке: $t_2 = 27°C$

Переведём температуры в систему СИ (в кельвины):
$T_1 = t_1 + 273 = 17 + 273 = 290 \text{ К}$
$T_2 = t_2 + 273 = 27 + 273 = 300 \text{ К}$

Найти:

Конечное давление $p$ и температуру $t$ в объединённом модуле.

Решение:

Будем считать воздух в отсеках идеальным газом. При соединении отсеков газы смешиваются. Система, состоящая из двух отсеков, является изолированной, так как теплообмен с окружающей средой и работа внешних сил отсутствуют. Следовательно, внутренняя энергия системы сохраняется. Также сохраняется общее количество вещества (число молей) газа.

1. Закон сохранения энергии.
Полная внутренняя энергия системы до объединения равна сумме внутренних энергий газов в каждом отсеке: $U_{нач} = U_1 + U_2$.
Внутренняя энергия идеального газа выражается через давление и объём как $U = \frac{i}{2}pV$, где $i$ – число степеней свободы (для воздуха, состоящего в основном из двухатомных газов, $i=5$). После объединения внутренняя энергия станет $U_{кон} = \frac{i}{2}pV$, где $p$ – установившееся давление, а $V = V_1 + V_2$ – общий объём. Из закона сохранения энергии $U_{кон} = U_{нач}$ следует:
$\frac{i}{2}p(V_1 + V_2) = \frac{i}{2}p_1V_1 + \frac{i}{2}p_2V_2$
Отсюда можно найти конечное давление $p$:
$p = \frac{p_1V_1 + p_2V_2}{V_1 + V_2}$

2. Закон сохранения количества вещества.
Общее количество молей газа $\nu$ в объединённом модуле равно сумме количеств молей в каждом отсеке до стыковки: $\nu = \nu_1 + \nu_2$.
Используя уравнение состояния идеального газа $pV = \nu RT$, выразим количество молей: $\nu = \frac{pV}{RT}$.
Тогда: $\frac{pV}{RT} = \frac{p_1V_1}{RT_1} + \frac{p_2V_2}{RT_2}$, где $T$ – конечная температура.
Упрощая (сокращая на универсальную газовую постоянную $R$), получаем:
$\frac{p(V_1 + V_2)}{T} = \frac{p_1V_1}{T_1} + \frac{p_2V_2}{T_2}$
Из этого уравнения можно выразить конечную температуру $T$:
$T = \frac{p(V_1 + V_2)}{\frac{p_1V_1}{T_1} + \frac{p_2V_2}{T_2}}$

Теперь проведём вычисления.

Какое давление воздуха установится в объединённом модуле?

Воспользуемся выведенной формулой для давления: $p = \frac{p_1V_1 + p_2V_2}{V_1 + V_2} = \frac{0.98 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 12 \text{ м}^3 + 1.02 \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 20 \text{ м}^3}{12 \text{ м}^3 + 20 \text{ м}^3}$
$p = \frac{11.76 \cdot 10^5 \text{ Дж} + 20.4 \cdot 10^5 \text{ Дж}}{32 \text{ м}^3} = \frac{32.16 \cdot 10^5 \text{ Дж}}{32 \text{ м}^3} = 1.005 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Ответ: Установившееся давление воздуха составит $1.005 \cdot 10^5 \text{ Па}$.

Какой будет температура воздуха в нём?

Воспользуемся выведенной формулой для температуры, подставив в неё уже найденное значение $p(V_1+V_2) = p_1V_1 + p_2V_2 = 32.16 \cdot 10^5 \text{ Дж}$: $T = \frac{p_1V_1 + p_2V_2}{\frac{p_1V_1}{T_1} + \frac{p_2V_2}{T_2}} = \frac{32.16 \cdot 10^5 \text{ Дж}}{\frac{0.98 \cdot 10^5 \cdot 12}{290 \text{ К}} + \frac{1.02 \cdot 10^5 \cdot 20}{300 \text{ К}}}$
$T = \frac{32.16 \cdot 10^5}{\frac{11.76 \cdot 10^5}{290} + \frac{20.4 \cdot 10^5}{300}} = \frac{32.16}{\frac{11.76}{290} + \frac{20.4}{300}} \text{ К}$
$T \approx \frac{32.16}{0.04055 + 0.068} \approx \frac{32.16}{0.10855} \approx 296.3 \text{ К}$
Переведём температуру обратно в градусы Цельсия:
$t = T - 273 = 296.3 - 273 = 23.3°C$

Ответ: Температура воздуха в объединённом модуле будет примерно $23.3°C$.