Номер 4, страница 272 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 10. Термодинамика. Параграф 55. Внутренняя энергия. Задачи - номер 4, страница 272.

Условие.

4. Определите, какое давление воздуха установится в двух комнатах, имеющих объёмы $V_1$ и $V_2$, если между ними открывается дверь. Первоначальное давление воздуха в комнатах $p_1$ и $p_2$, а температура одинакова.

Решение.

Дано:

Объём первой комнаты: $V_1$

Объём второй комнаты: $V_2$

Начальное давление в первой комнате: $p_1$

Начальное давление во второй комнате: $p_2$

Температура в комнатах одинакова и не меняется: $T = const$

Найти:

Установившееся давление $p$.

Решение:

Будем считать воздух в комнатах идеальным газом. Поскольку по условию температура в комнатах одинакова и в процессе смешивания не изменяется, мы имеем дело с изотермическим процессом ($T = const$).

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона): $pV = \nu RT$, где $p$ – давление, $V$ – объём, $\nu$ – количество вещества, $R$ – универсальная газовая постоянная, а $T$ – абсолютная температура.

До открытия двери, количество вещества воздуха в первой комнате равно:

$\nu_1 = \frac{p_1 V_1}{R T}$

Количество вещества воздуха во второй комнате:

$\nu_2 = \frac{p_2 V_2}{R T}$

После того как дверь открыли, две комнаты образуют единую систему. Общий объём этой системы будет равен сумме объёмов двух комнат:

$V = V_1 + V_2$

Система является замкнутой, поэтому общее количество вещества воздуха в ней сохранится и будет равно сумме количеств вещества в каждой комнате до их соединения:

$\nu = \nu_1 + \nu_2 = \frac{p_1 V_1}{R T} + \frac{p_2 V_2}{R T} = \frac{p_1 V_1 + p_2 V_2}{R T}$

Когда в объединённой системе установится равновесие, в ней будет некоторое конечное давление $p$. Запишем уравнение состояния для конечного состояния системы:

$pV = \nu RT$

Теперь подставим в это уравнение выражения для общего объёма $V$ и общего количества вещества $\nu$:

$p(V_1 + V_2) = \left( \frac{p_1 V_1 + p_2 V_2}{R T} \right) R T$

Универсальная газовая постоянная $R$ и температура $T$ сокращаются, и мы получаем:

$p(V_1 + V_2) = p_1 V_1 + p_2 V_2$

Из этого уравнения выражаем искомое установившееся давление $p$:

$p = \frac{p_1 V_1 + p_2 V_2}{V_1 + V_2}$

Ответ: Установившееся давление воздуха будет равно $p = \frac{p_1 V_1 + p_2 V_2}{V_1 + V_2}$.