Номер 4, страница 276 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 10. Термодинамика. Параграф 56. Работа газа при изопроцессах. Задачи - номер 4, страница 276.

Условие.

4. Изменение состояния идеального газа изображено на $V-T$-диаграмме (рис. 224). Начальное давление газа $p_1 = 10^5$ Па и его объём $V_1 = 3 м^3$ известны. Изобразите изменение состояния газа на $p-V$-диаграмме. Найдите работу, совершаемую газом в процессе $1-2-3-4$, графически и рассчитайте её.

Решение.

Дано:

Процесс с идеальным газом 1-2-3-4
$p_1 = 10^5$ Па
$V_1 = 3$ м³
Из V-T диаграммы:
$V_2 = 2V_1$
$V_3 = 2V_1$
$V_4 = 3V_1$
$T_2 = T_4$
Процесс 1-2 - изобарный ($V \propto T$)
Процесс 2-3 - изохорный ($V = const$)
Процесс 3-4 - изобарный ($V \propto T$)

Найти:

1. Изобразить процесс на p-V-диаграмме.
2. Работу газа $A_{1234}$.

Решение:

1. Построение p-V-диаграммы

Для построения диаграммы в координатах $(p, V)$ необходимо определить давление и объем в каждой из точек 1, 2, 3, 4.

Точка 1:
Параметры заданы: $p_1 = 10^5$ Па, $V_1 = 3$ м³.

Процесс 1-2:
Процесс изобарный, так как на V-T диаграмме график представляет собой прямую, проходящую через начало координат ($V/T = const$). Следовательно, давление постоянно: $p_2 = p_1 = 10^5$ Па.
Объем в точке 2: $V_2 = 2V_1 = 2 \cdot 3 = 6$ м³.

Процесс 2-3:
Процесс изохорный, так как объем не меняется: $V_3 = V_2 = 6$ м³.
Давление в точке 3 ($p_3$) необходимо найти.

Процесс 3-4:
Процесс также изобарный ($V/T = const$). Следовательно, $p_4 = p_3$.
Объем в точке 4: $V_4 = 3V_1 = 3 \cdot 3 = 9$ м³.

Для нахождения давления $p_3$ (и $p_4$) воспользуемся уравнением состояния идеального газа ($pV = \nu RT$) и условием $T_2 = T_4$.
Для состояния 2: $p_2 V_2 = \nu R T_2$.
Для состояния 4: $p_4 V_4 = \nu R T_4$.
Так как правые части уравнений равны ($\nu R T_2 = \nu R T_4$), то равны и левые:
$p_2 V_2 = p_4 V_4$
Подставим известные соотношения: $p_1 (2V_1) = p_4 (3V_1)$.
Отсюда находим $p_4$:
$2p_1 = 3p_4 \implies p_4 = \frac{2}{3}p_1$.
$p_4 = \frac{2}{3} \cdot 10^5$ Па.
Так как процесс 3-4 изобарный, $p_3 = p_4 = \frac{2}{3} \cdot 10^5$ Па.

Итак, параметры состояний:
1: $(V_1, p_1) = (3 \text{ м³}, 10^5 \text{ Па})$
2: $(V_2, p_2) = (6 \text{ м³}, 10^5 \text{ Па})$
3: $(V_3, p_3) = (6 \text{ м³}, \frac{2}{3} \cdot 10^5 \text{ Па})$
4: $(V_4, p_4) = (9 \text{ м³}, \frac{2}{3} \cdot 10^5 \text{ Па})$

Диаграмма в координатах p-V представляет собой ломаную линию, состоящую из следующих участков:
- Участок 1-2: горизонтальная линия (изобарное расширение) из точки $(3; 1 \cdot 10^5)$ в точку $(6; 1 \cdot 10^5)$.
- Участок 2-3: вертикальная линия (изохорное охлаждение) из точки $(6; 1 \cdot 10^5)$ в точку $(6; \frac{2}{3} \cdot 10^5)$.
- Участок 3-4: горизонтальная линия (изобарное расширение) из точки $(6; \frac{2}{3} \cdot 10^5)$ в точку $(9; \frac{2}{3} \cdot 10^5)$.

2. Расчет работы газа $A_{1234}$

Полная работа газа в процессе 1-2-3-4 равна сумме работ на каждом участке: $A_{1234} = A_{12} + A_{23} + A_{34}$.
Графически работа равна площади фигуры под графиком процесса на p-V диаграмме.

Работа на участке 1-2 (изобарное расширение):
Работа вычисляется по формуле $A = p \Delta V$.
$A_{12} = p_1(V_2 - V_1) = p_1(2V_1 - V_1) = p_1 V_1$.

Работа на участке 2-3 (изохорный процесс):
Объем газа не меняется ($\Delta V = 0$), поэтому работа не совершается.
$A_{23} = 0$.

Работа на участке 3-4 (изобарное расширение):
$A_{34} = p_3(V_4 - V_3) = \frac{2}{3}p_1(3V_1 - 2V_1) = \frac{2}{3}p_1 V_1$.

Полная работа:
$A_{1234} = A_{12} + A_{23} + A_{34} = p_1 V_1 + 0 + \frac{2}{3}p_1 V_1 = \frac{5}{3}p_1 V_1$.

Подставим числовые значения:
$A_{1234} = \frac{5}{3} \cdot (10^5 \text{ Па}) \cdot (3 \text{ м³}) = 5 \cdot 10^5$ Дж.

Ответ: Работа, совершаемая газом в процессе 1-2-3-4, равна $A_{1234} = 5 \cdot 10^5$ Дж (или 500 кДж). График процесса в координатах p-V описан в решении.