Номер 5, страница 276 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 10. Термодинамика. Параграф 56. Работа газа при изопроцессах. Задачи - номер 5, страница 276.

Условие.

5. Два моля идеального газа сжимаются изотермически при температуре $T = 300 \text{ К}$ до половины первоначального объёма. Какая работа совершается газом? Изобразите качественно рассматриваемый процесс на $p-V$-диаграмме.

Решение.

Какая работа совершается газом?

Дано:
Количество вещества идеального газа, $ \nu = 2 $ моль
Температура (изотермический процесс), $ T = 300 $ К
Соотношение объемов, $ V_2 = \frac{1}{2} V_1 $
Универсальная газовая постоянная, $ R \approx 8.31 \, \frac{Дж}{моль \cdot К} $

Найти:
Работу, совершаемую газом, $A$.

Решение:
Работа, совершаемая газом при изотермическом процессе, вычисляется по формуле:$ A = \int_{V_1}^{V_2} p \, dV $

Из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона) $ pV = \nu R T $, выразим давление $p$:$ p = \frac{\nu R T}{V} $

Подставим выражение для давления в интеграл для работы:$ A = \int_{V_1}^{V_2} \frac{\nu R T}{V} \, dV $

Поскольку $ \nu, R, T $ являются постоянными величинами в данном процессе, их можно вынести за знак интеграла:$ A = \nu R T \int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V} $

Интеграл от $ \frac{dV}{V} $ равен натуральному логарифму $ \ln(V) $. Вычислим определенный интеграл:$ A = \nu R T [\ln(V)]_{V_1}^{V_2} = \nu R T (\ln(V_2) - \ln(V_1)) = \nu R T \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) $

По условию задачи, газ сжимается до половины первоначального объема, то есть $ \frac{V_2}{V_1} = \frac{1}{2} $.Подставим числовые значения в формулу:$ A = 2 \, моль \cdot 8.31 \, \frac{Дж}{моль \cdot К} \cdot 300 \, К \cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right) $

Используя свойство логарифма $ \ln\left(\frac{1}{x}\right) = -\ln(x) $ и значение $ \ln(2) \approx 0.693 $, получаем:$ A = 4986 \cdot (-\ln(2)) \approx 4986 \cdot (-0.693) \approx -3455.3 \, Дж $

Работа, совершаемая газом, отрицательна. Это означает, что работа совершается внешними силами над газом, что соответствует процессу сжатия.Округлим результат до трех значащих цифр: $ A \approx -3.46 \, кДж $.

Ответ: работа, совершаемая газом, составляет примерно $ -3.46 \, кДж $.

Изобразите качественно рассматриваемый процесс на p–V-диаграмме.

Решение:
Процесс сжатия идеального газа является изотермическим, то есть происходит при постоянной температуре ($ T = const $). В координатах $p-V$ (давление-объем) такой процесс изображается гиперболой, которая описывается уравнением $ pV = const $.

Поскольку происходит сжатие, объем газа уменьшается (от $ V_1 $ до $ V_2 $, где $ V_2 < V_1 $), а давление, согласно закону Бойля-Мариотта, увеличивается (от $ p_1 $ до $ p_2 $, где $ p_2 > p_1 $). На диаграмме процесс будет представлен кривой, идущей из точки 1 (начальное состояние) в точку 2 (конечное состояние) с уменьшением объема и увеличением давления. Направление процесса указывается стрелкой.

Здесь $ V_2 = V_1/2 $ и, следовательно, $ p_2 = 2p_1 $.

Ответ: график процесса представляет собой ветвь гиперболы (изотерму), по которой система переходит из состояния 1 (с объемом $ V_1 $ и давлением $ p_1 $) в состояние 2 (с объемом $ V_2 $ и давлением $ p_2 $), как показано на рисунке выше.