Номер 3, страница 345 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 13. Механические волны. Акустика. Параграф 73. Стоячие волны. Задачи - номер 3, страница 345.

Условие.

3. С помощью полученного в задаче 2 уравнения стоячей волны получите положения узлов стоячей волны и пучностей.

Решение.

3. С помощью полученного в задаче 2 уравнения стоячей волны получите положения узлов стоячей волны и пучностей.

Для решения этой задачи необходимо уравнение стоячей волны, полученное в задаче 2. Поскольку это уравнение не предоставлено, приведем общее решение на примере одного из наиболее распространенных видов уравнения стоячей волны.

Общий вид уравнения стоячей волны можно записать как $y(x,t) = A_{ст}(x) \cdot \cos(\omega t + \phi_0)$, где $A_{ст}(x)$ — амплитуда колебаний в точке с координатой $x$.

Узлы стоячей волны — это точки, в которых амплитуда колебаний всегда равна нулю. Для нахождения их положения необходимо решить уравнение: $A_{ст}(x) = 0$.

Пучности стоячей волны — это точки, в которых амплитуда колебаний максимальна. Для нахождения их положения необходимо найти точки, где модуль амплитуды $|A_{ст}(x)|$ достигает своего максимального значения.

Предположим, что в задаче 2 было получено уравнение вида $y(x,t) = A_0 \cos(kx) \cos(\omega t)$. В этом случае амплитуда в каждой точке $A_{ст}(x) = A_0 \cos(kx)$, а волновое число связано с длиной волны $\lambda$ как $k = \frac{2\pi}{\lambda}$.

Для нахождения положения узлов приравняем амплитуду к нулю: $A_0 \cos(kx) = 0$, что равносильно $\cos(kx) = 0$. Это равенство выполняется, когда аргумент косинуса $kx = (2n + 1)\frac{\pi}{2}$, где $n = 0, 1, 2, ...$. Подставляя волновое число $k = \frac{2\pi}{\lambda}$, получаем координаты узлов: $x_{уз} = (2n + 1)\frac{\lambda}{4}$.

Для нахождения положения пучностей ищем точки с максимальной амплитудой, что происходит, когда $|\cos(kx)| = 1$. Это равенство выполняется, когда $kx = n\pi$, где $n = 0, 1, 2, ...$. Подставляя $k = \frac{2\pi}{\lambda}$, получаем координаты пучностей: $x_{пуч} = n\frac{\lambda}{2}$.

Ответ: Положения узлов и пучностей определяются из уравнения стоячей волны. Для узлов необходимо приравнять амплитудный множитель к нулю ($A_{ст}(x) = 0$), а для пучностей — найти точки его максимума ($|A_{ст}(x)| = \max$). Для волны вида $y(x,t) = A_0 \cos(kx) \cos(\omega t)$ координаты узлов определяются формулой $x_{уз} = (2n + 1)\frac{\lambda}{4}$, а координаты пучностей — $x_{пуч} = n\frac{\lambda}{2}$, где $n = 0, 1, 2, ...$.

---

4. Расстояние между первым и четвёртым узлами стоячей волны равно 60 см. Определите длину волны.

Дано:

Расстояние между первым и четвёртым узлами $L = 60 \text{ см}$

В системе СИ:

$L = 0.6 \text{ м}$

Найти:

Длина волны $\lambda$.

Решение:

Расстояние между двумя соседними узлами в стоячей волне постоянно и равно половине длины волны, то есть $\frac{\lambda}{2}$.

Между первым и четвёртым узлами находится $4 - 1 = 3$ таких промежутка.

Следовательно, расстояние $L$ между первым и четвёртым узлами можно выразить как:

$L = (4 - 1) \cdot \frac{\lambda}{2} = 3 \cdot \frac{\lambda}{2}$

Теперь мы можем выразить длину волны $\lambda$ из этого уравнения:

$\lambda = \frac{2L}{3}$

Подставим известное значение $L = 60 \text{ см}$:

$\lambda = \frac{2 \cdot 60 \text{ см}}{3} = \frac{120 \text{ см}}{3} = 40 \text{ см}$

Проверим расчет в системе СИ:

$\lambda = \frac{2 \cdot 0.6 \text{ м}}{3} = \frac{1.2 \text{ м}}{3} = 0.4 \text{ м}$

Ответ: Длина волны равна 40 см (или 0.4 м).