Номер 2, страница 345 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 13. Механические волны. Акустика. Параграф 73. Стоячие волны. Задачи - номер 2, страница 345.

Условие.

2. Введите в полученное в задаче 1 уравнение стоячей волны период $\text{T}$ и длину волны $\lambda$ вместо $\omega$ и $\text{v}$.

Решение.

2. Дано:

Поскольку уравнение из задачи 1 не предоставлено, будем исходить из общей формы уравнения стоячей волны, полученного при сложении двух бегущих навстречу друг другу волн. Такая форма, выраженная через круговую частоту $\omega$ и фазовую скорость $v$, имеет вид:
$y(x,t) = 2A \sin\left(\frac{\omega}{v}x\right) \cos(\omega t)$
где $A$ - амплитуда исходных бегущих волн, $x$ - координата, $t$ - время.

Найти:

Преобразовать данное уравнение, выразив его через период $T$ и длину волны $\lambda$.

Решение:

Для выполнения поставленной задачи необходимо использовать формулы, связывающие круговую частоту $\omega$ и фазовую скорость $v$ с периодом $T$ и длиной волны $\lambda$.

1. Круговая (циклическая) частота $\omega$ связана с периодом $T$ следующим образом:
$\omega = \frac{2\pi}{T}$

2. Фазовая скорость $v$ определяется как скорость распространения точки с постоянной фазой и связана с длиной волны $\lambda$ и периодом $T$ формулой:
$v = \frac{\lambda}{T}$

Теперь выполним подстановку этих выражений в исходное уравнение стоячей волны.

Сначала рассмотрим множитель при координате $x$ в аргументе синуса. Этот множитель является волновым числом $k = \omega/v$. Выразим его через $\lambda$ и $T$:
$\frac{\omega}{v} = \frac{2\pi / T}{\lambda / T} = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{\lambda} = \frac{2\pi}{\lambda}$

Далее подставим выражение для $\omega$ в аргумент косинуса.

В результате, подставляя найденные выражения в исходное уравнение $y(x,t) = 2A \sin\left(\frac{\omega}{v}x\right) \cos(\omega t)$, получаем:
$y(x,t) = 2A \sin\left(\frac{2\pi}{\lambda}x\right) \cos\left(\frac{2\pi}{T}t\right)$

Полученное уравнение является уравнением стоячей волны, в котором зависимость от координаты и времени выражена через длину волны $\lambda$ и период $T$.

Ответ: $y(x,t) = 2A \sin\left(\frac{2\pi}{\lambda}x\right) \cos\left(\frac{2\pi}{T}t\right)$.