Номер 5, страница 345 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Задачи. Параграф 73. Стоячие волны. 13. Механические волны. Акустика. Молекулярная физика - номер 5, страница 345.

Условие.

5. Определите частоту основной моды колебаний и обертонов у бронзовой струны длиной $l = 0.5$ м, закреплённой на концах. Скорость звука в бронзе $v = 3500$ м/с.

Решение.

Дано:

Длина струны, $l = 0,5$ м

Скорость звука в бронзе, $v = 3500$ м/с

Найти:

Частоту основной моды $f_1$ и частоты обертонов $f_n$ ($n>1$)

Решение:

Для струны, закрепленной на обоих концах, условием образования стоячей волны является равенство длины струны целому числу полуволн:

$l = n \frac{\lambda_n}{2}$, где $n = 1, 2, 3, \ldots$ — номер гармоники (моды колебаний), а $\lambda_n$ — длина волны для этой гармоники.

Отсюда можно выразить длину волны для $n$-й гармоники:

$\lambda_n = \frac{2l}{n}$

Частота колебаний $f_n$ связана со скоростью распространения волны $v$ и длиной волны $\lambda_n$ известным соотношением:

$f_n = \frac{v}{\lambda_n}$

Подставив в эту формулу выражение для длины волны, получим общую формулу для определения частот всех возможных мод колебаний (гармоник) струны:

$f_n = \frac{v}{2l/n} = n \frac{v}{2l}$

Основная мода колебаний (основной тон или первая гармоника) соответствует значению $n=1$. Рассчитаем её частоту $f_1$:

$f_1 = 1 \cdot \frac{v}{2l} = \frac{3500 \text{ м/с}}{2 \cdot 0,5 \text{ м}} = \frac{3500}{1} \text{ Гц} = 3500 \text{ Гц}$

Обертонами называются все остальные моды колебаний (гармоники), частоты которых выше основной частоты. Они соответствуют значениям $n = 2, 3, 4, \ldots$. Их частоты кратны основной частоте:

$f_n = n \cdot f_1$

Таким образом, частоты обертонов можно найти, умножая основную частоту на соответствующие целые числа больше единицы.

Например, частота первого обертона (вторая гармоника, $n=2$):

$f_2 = 2 \cdot f_1 = 2 \cdot 3500 \text{ Гц} = 7000 \text{ Гц}$

Частота второго обертона (третья гармоника, $n=3$):

$f_3 = 3 \cdot f_1 = 3 \cdot 3500 \text{ Гц} = 10500 \text{ Гц}$, и так далее.

Ответ: Частота основной моды колебаний составляет $3500$ Гц. Частоты обертонов определяются формулой $f_n = n \cdot 3500 \text{ Гц}$ при $n = 2, 3, 4, \ldots$ (т.е. $7000$ Гц, $10500$ Гц, $14000$ Гц и т.д.).