Номер 1, страница 345 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 13. Механические волны. Акустика. Параграф 73. Стоячие волны. Задачи - номер 1, страница 345.

Условие.

1. Падающая гармоническая поперечная волна (см. рис. 273) описывается уравнением

$y = A\cos \omega(t - x/v),$

где $\text{A}$ — амплитуда, $\omega$ — частота, $\text{v}$ — скорость волны.

Уравнение отражённой волны имеет вид

$y = A\cos \omega(t + x/v).$

Изменение знака в скобках характеризует направление, противоположное скорости распространения отражённой волны. Получите уравнение стоячей волны как сумму падающей и отражённой волн.

273

Прохождение через поляризатор (щель) гармонической поперечной механической волны, линейно-поляризованной в плоскости XY

Решение.

Дано:

Уравнение падающей волны: $y_1 = A \cos \omega(t - x/v)$

Уравнение отражённой волны: $y_2 = A \cos \omega(t + x/v)$

Найти:

Уравнение стоячей волны $y$.

Решение:

Стоячая волна образуется в результате сложения (интерференции) падающей и отражённой волн. Поэтому результирующее смещение $y$ в любой точке среды в любой момент времени равно сумме смещений, вызываемых каждой из волн:

$y = y_1 + y_2 = A \cos \omega(t - x/v) + A \cos \omega(t + x/v)$

Вынесем общий множитель $A$ за скобки:

$y = A (\cos(\omega t - \omega x/v) + \cos(\omega t + \omega x/v))$

Для преобразования суммы косинусов воспользуемся тригонометрической формулой суммы косинусов:

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$

В нашем случае:

$\alpha = \omega t - \omega x/v$

$\beta = \omega t + \omega x/v$

Найдём значения полусуммы и полуразности аргументов:

$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{(\omega t - \omega x/v) + (\omega t + \omega x/v)}{2} = \frac{2 \omega t}{2} = \omega t$

$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{(\omega t - \omega x/v) - (\omega t + \omega x/v)}{2} = \frac{-2 \omega x/v}{2} = -\frac{\omega x}{v}$

Подставим полученные выражения в формулу суммы косинусов:

$\cos(\omega t - \omega x/v) + \cos(\omega t + \omega x/v) = 2 \cos(\omega t) \cos(-\frac{\omega x}{v})$

Учитывая, что косинус является чётной функцией, то есть $\cos(-z) = \cos(z)$, получаем:

$\cos(-\frac{\omega x}{v}) = \cos(\frac{\omega x}{v})$

Тогда выражение для суммы волн принимает вид:

$y = A \cdot 2 \cos(\omega t) \cos(\frac{\omega x}{v})$

Перегруппируем множители, чтобы получить стандартный вид уравнения стоячей волны:

$y = (2A \cos(\frac{\omega x}{v})) \cos(\omega t)$

Это и есть уравнение стоячей волны. Выражение в скобках $A_{ст}(x) = 2A \cos(\frac{\omega x}{v})$ представляет собой амплитуду колебаний, которая зависит от координаты $x$. Колебания всех точек происходят с одинаковой частотой $\omega$ и описываются множителем $\cos(\omega t)$.

Учитывая, что волновое число $k = \omega/v$, уравнение можно также записать в виде:

$y = (2A \cos(kx)) \cos(\omega t)$

Ответ: $y = (2A \cos(\frac{\omega x}{v})) \cos(\omega t)$