Номер 4, страница 339 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 13. Механические волны. Акустика. Параграф 72. Периодические волны. Задачи - номер 4, страница 339.

Условие.

4. Уравнение гармонической линейно-поляризованной волны, распространяющейся в положительном направлении оси X (см. рис. 273), имеет вид

$y = A \cos \omega(t - x/v),$

где $\text{A}$ — амплитуда, $\omega$ — частота, $\text{v}$ — скорость распространения волны. Постройте графики зависимости $y(x)$ в одних и тех же осях координат в моменты времени $t = 0$; $t = T/4$; $t = T/2$ ($\text{T}$ — период колебаний).

Решение.

Дано:

Уравнение гармонической волны: $y = A \cos \omega(t - x/v)$

Моменты времени для построения графиков $y(x)$: $t_1 = 0$, $t_2 = T/4$, $t_3 = T/2$.

Найти:

Построить графики зависимости $y(x)$ для указанных моментов времени на одних и тех же осях координат.

Решение:

Для удобства анализа и построения графиков преобразуем уравнение волны, используя связь между циклической частотой $\omega$, периодом $T$, скоростью волны $v$ и длиной волны $\lambda$.

Известно, что $\omega = 2\pi/T$ и длина волны $\lambda = vT$, откуда $v = \lambda/T$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$y(x, t) = A \cos \left( \frac{2\pi}{T} \left( t - \frac{x}{\lambda/T} \right) \right) = A \cos \left( \frac{2\pi}{T} \left( t - \frac{xT}{\lambda} \right) \right) = A \cos \left( 2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right) \right)$

Эта форма уравнения удобна тем, что фаза волны выражена через безразмерные отношения времени к периоду и координаты к длине волны.

Теперь рассмотрим зависимость смещения $y$ от координаты $x$ в заданные моменты времени.

1. Момент времени $t=0$:

Подставляем $t=0$ в преобразованное уравнение:

$y(x) = A \cos \left( 2\pi \left( \frac{0}{T} - \frac{x}{\lambda} \right) \right) = A \cos \left( -\frac{2\pi x}{\lambda} \right)$

Так как функция косинуса четная ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$), получаем:

$y_1(x) = A \cos\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)$

Это "моментальный снимок" волны в начальный момент времени. График представляет собой косинусоиду, которая в точке $x=0$ имеет максимальное смещение $y=A$.

2. Момент времени $t=T/4$:

Подставляем $t=T/4$:

$y(x) = A \cos \left( 2\pi \left( \frac{T/4}{T} - \frac{x}{\lambda} \right) \right) = A \cos \left( 2\pi \left( \frac{1}{4} - \frac{x}{\lambda} \right) \right) = A \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi x}{\lambda} \right)$

Используя формулу приведения $\cos(\pi/2 - \alpha) = \sin(\alpha)$, получаем:

$y_2(x) = A \sin\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)$

График представляет собой синусоиду. В точке $x=0$ смещение равно нулю ($y=0$). По сравнению с графиком для $t=0$, форма волны сместилась вправо на расстояние $\lambda/4$.

3. Момент времени $t=T/2$:

Подставляем $t=T/2$:

$y(x) = A \cos \left( 2\pi \left( \frac{T/2}{T} - \frac{x}{\lambda} \right) \right) = A \cos \left( 2\pi \left( \frac{1}{2} - \frac{x}{\lambda} \right) \right) = A \cos \left( \pi - \frac{2\pi x}{\lambda} \right)$

Используя формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем:

$y_3(x) = -A \cos\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)$

График представляет собой перевернутую косинусоиду. В точке $x=0$ смещение имеет максимальное отрицательное значение $y=-A$. По сравнению с графиком для $t=0$, форма волны сместилась вправо на расстояние $\lambda/2$.

Ответ:

Уравнения зависимости $y(x)$ для заданных моментов времени:

• При $t=0$: $y_1(x) = A \cos\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)$
• При $t=T/4$: $y_2(x) = A \sin\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)$
• При $t=T/2$: $y_3(x) = -A \cos\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)$

Графически это представляет собой три "снимка" одной и той же волны, распространяющейся вправо. Первый график (для $t=0$) — это косинусоида с максимумом в $x=0$. Второй график (для $t=T/4$) — это та же форма волны, сдвинутая вправо на четверть длины волны ($\lambda/4$), что на графике выглядит как синусоида. Третий график (для $t=T/2$) — это исходная форма волны, сдвинутая вправо на половину длины волны ($\lambda/2$), что на графике выглядит как перевернутая косинусоида.