Номер 5, страница 340 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Молекулярная физика. 13. Механические волны. Акустика. Параграф 72. Периодические волны. Задачи - номер 5, страница 340.

Условие.

5. Уравнение гармонической линейно-поляризованной волны, распространяющейся противоположно оси $\text{X}$, имеет вид

$y = A\cos \left[ \frac{2\pi(t + x/v)}{T} \right]$

Постройте в одной системе координат графики зависимости $y(x)$ в момент времени $t = 0; t = T/4; t = T/2$.

Решение.

Дано:

Уравнение гармонической волны, распространяющейся противоположно оси X:

$y = A \cos\left[\frac{2\pi}{T}\left(t + \frac{x}{v}\right)\right]$

где $A$ — амплитуда, $T$ — период, $v$ — скорость распространения волны, $t$ — время, $x$ — координата.

Моменты времени для построения графиков $y(x)$:

$t_1 = 0$

$t_2 = T/4$

$t_3 = T/2$

Найти:

Построить в одной системе координат графики зависимости $y(x)$ для заданных моментов времени.

Решение:

Преобразуем исходное уравнение волны, чтобы явно выразить зависимость от длины волны $\lambda$. Длина волны связана со скоростью и периодом соотношением $\lambda = vT$.

$y(x, t) = A \cos\left(\frac{2\pi t}{T} + \frac{2\pi x}{vT}\right) = A \cos\left(\frac{2\pi t}{T} + \frac{2\pi x}{\lambda}\right)$

Теперь рассмотрим зависимость смещения $y$ от координаты $x$ в заданные моменты времени.

1. При $t = 0$:

Подставим $t=0$ в общее уравнение:

$y(x) = A \cos\left(\frac{2\pi \cdot 0}{T} + \frac{2\pi x}{\lambda}\right) = A \cos\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)$

Это уравнение описывает косинусоиду с амплитудой $A$ и периодом (длиной волны) $\lambda$. В точке $x=0$ смещение максимально и равно $A$. В точках $x = \pm \lambda/4, \pm 3\lambda/4, \dots$ смещение равно нулю. В точках $x = \pm \lambda/2, \pm 3\lambda/2, \dots$ смещение минимально и равно $-A$.

Ответ: Уравнение для графика при $t=0$: $y(x) = A \cos\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)$.

2. При $t = T/4$:

Подставим $t=T/4$ в общее уравнение:

$y(x) = A \cos\left(\frac{2\pi (T/4)}{T} + \frac{2\pi x}{\lambda}\right) = A \cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi x}{\lambda}\right)$

Используя формулу приведения $\cos(\pi/2 + \alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем:

$y(x) = -A \sin\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)$

Это уравнение описывает синусоиду, инвертированную относительно оси $x$. В точке $x=0$ смещение равно нулю. График представляет собой исходную косинусоиду ($t=0$), сдвинутую влево (вдоль отрицательного направления оси $x$) на расстояние $\lambda/4$. Это соответствует распространению волны влево за время $T/4$.

Ответ: Уравнение для графика при $t=T/4$: $y(x) = -A \sin\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)$.

3. При $t = T/2$:

Подставим $t=T/2$ в общее уравнение:

$y(x) = A \cos\left(\frac{2\pi (T/2)}{T} + \frac{2\pi x}{\lambda}\right) = A \cos\left(\pi + \frac{2\pi x}{\lambda}\right)$

Используя формулу приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем:

$y(x) = -A \cos\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)$

Это уравнение описывает косинусоиду, инвертированную относительно оси $x$. В точке $x=0$ смещение минимально и равно $-A$. График представляет собой исходную косинусоиду ($t=0$), сдвинутую влево на расстояние $\lambda/2$.

Ответ: Уравнение для графика при $t=T/2$: $y(x) = -A \cos\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)$.

Построение графиков в одной системе координат:

Все три графика строятся в осях $y(x)$.

• График для $t=0$ (синий на рисунке-примере) — это стандартная косинусоида, начинающаяся с максимума ($A$) при $x=0$.
• График для $t=T/4$ (зеленый) — это инвертированная синусоида. Он проходит через начало координат ($y=0$ при $x=0$) и уходит в отрицательную область. Этот график получен сдвигом синего графика влево на $\lambda/4$.
• График для $t=T/2$ (красный) — это инвертированная косинусоида. Он начинается с минимума ($-A$) при $x=0$. Этот график получен сдвигом синего графика влево на $\lambda/2$.

Совокупность этих графиков наглядно демонстрирует, как форма волны смещается влево с течением времени.

На представленном изображении синим цветом показан график для $t=0$, зеленым для $t=T/4$, красным для $t=T/2$. Ось абсцисс проградуирована в долях длины волны $\lambda$.