Номер 3, страница 394 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Вопросы. Параграф 84. Работа сил электростатического поля. 15. Энергия электромагнитного взаимодействия неподвижных зарядов. Электростатика - номер 3, страница 394.

Условие.

3. Докажите, что электростатическое поле потенциально.

Решение.

Решение

Поле называется потенциальным (или консервативным), если работа, совершаемая силами этого поля при перемещении пробного тела (в данном случае, заряда) по любому замкнутому контуру, равна нулю. Докажем, что электростатическое поле удовлетворяет этому условию.

Сначала рассмотрим простейший случай — поле, создаваемое одиночным неподвижным точечным зарядом $Q$. Сила, с которой это поле действует на пробный заряд $q$, находящийся на расстоянии $r$ от заряда $Q$, определяется законом Кулона:

$\vec{F} = k \frac{Qq}{r^2} \hat{r}$,

где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ — коэффициент пропорциональности, а $\hat{r}$ — единичный вектор, направленный от заряда $Q$ к заряду $q$.

Элементарная работа $dA$, совершаемая этой силой при перемещении заряда $q$ на бесконечно малый вектор $d\vec{l}$, равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения:

$dA = \vec{F} \cdot d\vec{l} = (k \frac{Qq}{r^2} \hat{r}) \cdot d\vec{l}$.

Скалярное произведение $\hat{r} \cdot d\vec{l}$ есть проекция вектора перемещения $d\vec{l}$ на радиальное направление $\hat{r}$. Эта проекция равна изменению расстояния $r$ до центра поля, то есть $dr$. Таким образом, элементарная работа равна:

$dA = k \frac{Qq}{r^2} dr$.

Полная работа $A_{1 \to 2}$ при перемещении заряда $q$ из начальной точки 1 (на расстоянии $r_1$ от $Q$) в конечную точку 2 (на расстоянии $r_2$ от $Q$) находится путем интегрирования элементарной работы вдоль траектории:

$A_{1 \to 2} = \int_1^2 dA = \int_{r_1}^{r_2} k \frac{Qq}{r^2} dr = kQq \int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{r^2} = kQq [-\frac{1}{r}]_{r_1}^{r_2} = kQq (\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2})$.

Как видно из полученного выражения, работа сил электростатического поля точечного заряда не зависит от формы траектории движения, а определяется только начальным ($r_1$) и конечным ($r_2$) расстояниями до заряда-источника поля. Это является ключевым свойством потенциальных сил.

Если траектория замкнутая, то начальная и конечная точки совпадают, следовательно, $r_1 = r_2$. Работа на замкнутой траектории в этом случае равна:

$A_{замкн} = kQq (\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_1}) = 0$.

Теперь обобщим этот результат на случай поля, созданного произвольной системой неподвижных зарядов. Согласно принципу суперпозиции, напряженность электростатического поля, созданного системой из $N$ точечных зарядов, равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: $\vec{E} = \sum_{i=1}^N \vec{E}_i$.

Тогда сила, действующая на пробный заряд $q$, также будет равна векторной сумме сил: $\vec{F} = \sum_{i=1}^N \vec{F}_i$. Работа, совершаемая результирующей силой на замкнутом пути, равна сумме работ, совершаемых каждой из сил $\vec{F}_i$:

$A_{замкн} = \oint \vec{F} \cdot d\vec{l} = \oint (\sum_{i=1}^N \vec{F}_i) \cdot d\vec{l} = \sum_{i=1}^N \oint \vec{F}_i \cdot d\vec{l}$.

Поскольку мы уже доказали, что работа для поля каждого отдельного точечного заряда по замкнутому контуру равна нулю ($\oint \vec{F}_i \cdot d\vec{l} = 0$), то и их сумма также будет равна нулю:

$A_{замкн} = \sum_{i=1}^N 0 = 0$.

Таким образом, работа сил любого электростатического поля при перемещении заряда по любому замкнутому контуру равна нулю.

Ответ: Электростатическое поле является потенциальным, так как работа, совершаемая силами этого поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории, равна нулю. Это свойство напрямую следует из того, что кулоновская сила является центральной, и работа этой силы зависит только от начального и конечного положения заряда, а не от пути перемещения. В силу принципа суперпозиции этот вывод справедлив для электростатического поля, созданного любой системой неподвижных зарядов.