Номер 6, страница 458 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

Лабораторные работы. 7. Изучение капиллярных явлений, обусловленных поверхностным натяжением жидкости - номер 6, страница 458.

Условие.

6. Запишите значение диаметра капилляров с учётом абсолютной погрешности измерения: $D_1 \pm \Delta D_1, D_2 \pm \Delta D_2.$

Решение.

Вопрос требует записать результаты измерений диаметров двух капилляров в стандартном виде, включающем среднее значение и абсолютную погрешность. Общий вид такой записи: $X = \langle X \rangle \pm \Delta X$, где $\langle X \rangle$ — наилучшая оценка измеряемой величины (обычно среднее арифметическое), а $\Delta X$ — абсолютная погрешность измерения.

Поскольку в самом вопросе не предоставлены данные измерений, для демонстрации полного решения приведём гипотетический пример с расчётами.

Дано:

Проведены измерения диаметров двух капилляров с помощью микрометра, цена деления которого составляет $c = 0.01$ мм. Для каждого капилляра было сделано по $n=5$ измерений.

Результаты измерений для первого капилляра ($d_1$, мм): 1.52, 1.54, 1.53, 1.55, 1.51.

Результаты измерений для второго капилляра ($d_2$, мм): 0.88, 0.85, 0.89, 0.87, 0.86.

Найти:

Записать значения диаметров капилляров $D_1$ и $D_2$ с учётом абсолютной погрешности.

Решение:

Абсолютная погрешность состоит из приборной и случайной составляющих. Приборная погрешность $\Delta D_{пр}$ для микрометра принимается равной половине цены деления:

$\Delta D_{пр} = \frac{c}{2} = \frac{0.01 \text{ мм}}{2} = 0.005 \text{ мм}$.

Расчёт для первого капилляра ($D_1$):

1. Найдём среднее значение диаметра, которое является наилучшей оценкой $D_1$:

$D_1 = \langle d_1 \rangle = \frac{1.52 + 1.54 + 1.53 + 1.55 + 1.51}{5} = \frac{7.65}{5} = 1.53 \text{ мм}$.

2. Рассчитаем случайную погрешность измерения $\Delta D_{1,сл}$ как стандартную ошибку среднего. Для этого сначала найдём сумму квадратов отклонений от среднего:

$\sum_{i=1}^{5} (d_{1,i} - D_1)^2 = (1.52-1.53)^2 + (1.54-1.53)^2 + (1.53-1.53)^2 + (1.55-1.53)^2 + (1.51-1.53)^2$

$= 0.0001 + 0.0001 + 0 + 0.0004 + 0.0004 = 0.0010 \text{ мм}^2$.

Тогда случайная погрешность:

$\Delta D_{1,сл} = \sqrt{\frac{\sum(d_{1,i} - D_1)^2}{n(n-1)}} = \sqrt{\frac{0.0010}{5(5-1)}} = \sqrt{\frac{0.0010}{20}} = \sqrt{0.00005} \approx 0.00707 \text{ мм}$.

3. Найдём полную абсолютную погрешность $\Delta D_1$ как сумму случайной и приборной погрешностей:

$\Delta D_1 = \Delta D_{1,сл} + \Delta D_{пр} \approx 0.00707 + 0.005 = 0.01207 \text{ мм}$.

4. Округлим результат. Абсолютную погрешность следует округлить до одной значащей цифры: $\Delta D_1 \approx 0.01 \text{ мм}$. Среднее значение $D_1 = 1.53 \text{ мм}$ округляем до того же знака после запятой, что и погрешность (до сотых). В данном случае оно уже имеет нужную точность.

Расчёт для второго капилляра ($D_2$):

1. Найдём среднее значение диаметра $D_2$:

$D_2 = \langle d_2 \rangle = \frac{0.88 + 0.85 + 0.89 + 0.87 + 0.86}{5} = \frac{4.35}{5} = 0.87 \text{ мм}$.

2. Рассчитаем случайную погрешность $\Delta D_{2,сл}$. Сумма квадратов отклонений:

$\sum_{i=1}^{5} (d_{2,i} - D_2)^2 = (0.88-0.87)^2 + (0.85-0.87)^2 + (0.89-0.87)^2 + (0.87-0.87)^2 + (0.86-0.87)^2$

$= 0.0001 + 0.0004 + 0.0004 + 0 + 0.0001 = 0.0010 \text{ мм}^2$.

Случайная погрешность:

$\Delta D_{2,сл} = \sqrt{\frac{\sum(d_{2,i} - D_2)^2}{n(n-1)}} = \sqrt{\frac{0.0010}{5(5-1)}} = \sqrt{\frac{0.0010}{20}} \approx 0.00707 \text{ мм}$.

3. Найдём полную абсолютную погрешность $\Delta D_2$:

$\Delta D_2 = \Delta D_{2,сл} + \Delta D_{пр} \approx 0.00707 + 0.005 = 0.01207 \text{ мм}$.

4. Округлим результат. Абсолютную погрешность округляем до одной значащей цифры: $\Delta D_2 \approx 0.01 \text{ мм}$. Среднее значение $D_2 = 0.87 \text{ мм}$ уже имеет требуемую точность (до сотых).

$D_1 \pm \Delta D_1$

Ответ: $D_1 = (1.53 \pm 0.01) \text{ мм}$.

$D_2 \pm \Delta D_2$

Ответ: $D_2 = (0.87 \pm 0.01) \text{ мм}$.